調和振動子

今まで「量子力学」カテゴリを設けてなかったのはほんと申し訳なかった。
なにこの今更感。

あとでほかの記事をこのカテゴリに移したら、リンクたどれなくなるのかなぁ



今日は調和振動子シリーズでいきます。
波束を最適な割合で合成して動かす、みたいなサイトが意外と見つかりにくいんですよね。
あったとしても僕のスペックを超えてることが多いので、結局よくわからないんですわ

サイトのことだから誤植があっても他己責任ですし。
実際、このwikiには少なくとも、エルミート多項式の3番目H2と、規格化定数Cnの計算式に疑問が生じると思います(2016/1/6現在)
H2(x)=4x^2+2ではなく、H2(x)=4x^2-2だと思います
Cnは、Cn=x0^n/n!/2^n/exp(x0^2/4)/√πじゃなくてCn=x0^n/n!/2^n/exp(x0^2/4)/なんじゃないかな


Cnに関しては些細な問題です。波動関数の形が変わるわけでもありませんし、見当をつけて直してみたものの、波動関数の2乗和が1にはならず、結局1になるように無理くり振幅を直すことにしました。

きっとどこかが微妙におかしい。僕の計算かもしれませんし、wikiを鵜呑みにしてるからかもしれませんし



とりあえずもっともらしい形になったんでアップはしましたが。




こういうwikiを井戸型ポテンシャルでやってくれるとありがたいんだけどなぁ
本質的に無理ってんなら仕方ないんですけど。

波束がどんなルール・割合で重ねあわされるのかよくわからんのですよ

波動関数のφとψの違いもよくわんないんですよねぇ

なんとなーくフーリエ変換を彷彿とさせるなーとは思ってるんですけども。


4項以上重ね合わせたところで大きく変わるか？といわれるとよくわからないんですよ
だから高々3項だけ足してるんですが。
wikiにある「反復横飛びするガウシアン関数」のアニメーションがね、どこソースなのかよくわかんないんです。ほんとにξ0=0.45なんですか？って感じで



計算式はこんな感じ
位置だけが変数の波動関数シリーズがいくつかあるφn(x)

φにはエルミート多項式Hn(x)と、規格化定数Aが用いられ、以下で定義される。


そして、時間にも依存する波動関数ψ(x,t)があって、以下のように重ね合わせて表現する。

ただし、ψの初期値ψ(x,0)と係数(定数？)Cnは以下の通り。



まあそんな感じです。


角振動数ωと質量mとディラック定数ħは全部1としましたので、ξ=xとなります。


xは位置、tは時間、nは量子数、iは虚数単位、x0は初期の位置です。


n：0～2の3項だけでとりあえず重ね合わせてみたのがこちら。
x0=2としてます。

ガウシアン反復横飛びです。

赤が波動関数の絶対値の2乗

青の上が実部、下が虚部です。


振幅が大きいと、そのままの反復横飛びではなく、中央で赤のピークが縮んでるのがわかるかと思います。
これは振り子が端っこでいったん止まって戻るため、滞在時間が長いことに相当するようです。



実部の右側と虚部の左側が自由端反射
実部の左側と虚部の右側が固定端反射っぽいのが興味深いですね。

どっちがディリクレ境界条件でどっちがノイマン境界条件でしたっけ

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