ディラック方程式とガンマ行列の中身

さっきまでの日記の続きです。



このようなディラックの着想を満たす係数行列aは


以上のような中身であることがわかりました。

この両辺に、左からa0を掛け算してみましょう。


実は、このようにして定義されたa0ajがガンマ行列γjなのです。(j：0～3)
つまりガンマ行列の中身はこのようになってまーす。


当然、ガンマ行列γj同士の間にも、ディラック行列ajのような反交換関係が成り立ちます。
{γj,γk}=2gjkE

今度はクロネッカーのデルタδjkの代わりにgjkというのが出てきました。見間違えないように気を付けてください。
これは相対論でよく出てくる計量というやつです。g00=1、それ以外のgjj=-1(j：1～3)というものです。第4の次元としての時間が、空間の次元とはちょっと違うよ、とか言って回ってるようなアイツです

γ0だけエルミートで、残り3つのγは歪(反)エルミートであることがわかるかと思います。


ディラック方程式をさらに変形して、ctをx0に、それから移行して整理してみましょう。
 
このようになりました。あ～い気持ちいいでちゅね～

これを、アインシュタインの縮約記法を用いて簡略化してみますと、次のようになります。

ずいぶんすっきりとしましたね。
ここで、mc/ħの次元が長さのマイナス1乗であることを確認しておいた方がいいかもしれません

あと、ダランベール演算子□を用いる書き方もあるのかな？

微分記号をさらに略しますと、こうなります。

さらに、c=ħ=1という自然単位系とかいう記述にすると、もっと簡潔に書けます。

はいきたこれー。しまっちゃおうねー



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ところで、このmは質量なんですがm=0にすると

こうなるじゃないですか。
右辺がゼロなので虚数単位iは不要になりましたが、ガンマ行列まで不要になるかどうかはまだ検証してません。

ただ、マックスウェル方程式の相対論バージョンの記述方法


にすごく似てますよね・・・？jってのは確か、四元電流密度でしたっけ？

電流密度ってことは、電場や磁場になりえるわけで、
もともとマックスウェル方程式は波動方程式になり得ましたし
波動関数ψだって波ですし

波動関数の絶対値の2乗が存在確率を表すというのも、もとをただせばエネルギースペクトル(実効値)からきたものですし

フォトンには質量がないですし・・・

こいつらって統一できるんじゃね？って思っちゃうのは自然ですよねぇ？
たぶん、場の量子論とか第二量子化とかしてるやつらにとっては当たり前の日常・・・？


あー、勘違いしてた。うろ覚えだった∂j=0ってのはマックスウェル方程式じゃなくてローレンツ条件だったのかorz
じゃあ似てて当たり前じゃねーか



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