ディラック方程式の成り立ち

ことの始まりは、相対論的な速度における量子力学を作ってみよう

ということだったようです。

放射線や宇宙線などの素粒子は、結構亜光速で飛んだりしますので
相対論の部分を含んでいない量子力学じゃ役に立たないことも多いようで。

それでまず、エネルギーと運動量の関係を、ニュートン力学から相対論風に書きなおした式


のエネルギーEと運動量pに、それぞれ量子力学的な(偏)微分演算子
E=iħ∂/∂tとp=-iħ∇
をそのままぶっこんで、波動関数ψを両辺に掛け算した

クラインゴルドン方程式

が成立するんじゃないかって気が最初はしたようなんですね。


割りと自然に導き出される式なんですが、理論的にも実験的にも総攻撃食らったらしくてですね


僕が参考にした本はこんな風に書いていたみたいです。

波動関数を時間で2階微分してるということは
波動関数の規格化と矛盾する。

2階微分ということは、初期値問題にしろ境界値問題にしろ
2つの独立した自由度が必要なわけです。
初期値問題だったら初期位置と初速度のようにです。


ところが、

このような、存在確率の時間微分のような演算をしようとしたとき

積の微分を用いてこのように書き変えることができ

こうなるともう、2つの条件は独立ではいられないわけですよ。

だったらクラインゴルドン方程式の両辺の平方根を取ろうじゃないかってことになって


なんかとりあえずこうおいて
上の式と下の式が恒等的に一致する、
新しい式を考えてみよう＼PON／

 
無茶～ブリ～すぎーてー


ああ行列になっちゃったーストラクチャー♪
ディラック～ディラック～スカラーの係数が～出ないっ！
ディラック～ディラック～考えるのがツラいっ！正解はどこ？わからない
だーれかーたーすけてーふんふんふーん


下の右辺を2乗したら上の右辺のルートの中身になる

としたら、直交関係めいた、自身の2乗は有限だけど、クロスタームはゼロにしなきゃならない
そんなんスカラーじゃありえねえ！


まあそういうわけなんですわ。ディラック方程式ってのは。

だから、jとkを0～3としたとき、反交換関係
{aj,ak}=2δjkE　(Eは単位行列)

が成り立つ4つの4次行列a0～a3が定義されるわけです。はい