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20080511～
13と7と11の倍数の論理積は13と7と11の積の倍数である。
和ァ・・・
どこからどこまで自分で再発見した車輪なのかおぼろげなのですが、放送大学「量子物理」の小形正男さんによる14話、
3状態系の調和関数の代数的表現(行列表現)を参考に、ある程度自力で2状態系に応用したら それがスピンやパウリ行列そのものだった といったような記憶があって 先日の日記で、余裕がなかったので定性的な話を多めにしたら 自分でしゃべってようやく自分で気づきました。 固有ベクトルがユニタリになるのは必然なんじゃないかなって。 こういうところに定性的な話の重要性があるようですね。 そこで、量子物理14話に今一度戻って、3状態系の球面調和関数を例に、固有状態を計算してみたのがこちらです。 行列表現は抽象化されていて、あまり具体例を見ない気がするので、よかったら参考にしてもらえればと。 まず、このように3状態を定義します。 一番高い状態 中くらいの状態 一番低い状態 これらの状態を1つ上に押しやるのが上昇演算子L+ 1つ下に下げるのが下降演算子L-とすると、 3状態横に並べて、まとめてこのような行列の積で書けるはずです。 ただし、一番上の状態をさらに上げようとしても上がりませんし 一番下の状態をさらに下げようとしても下げられません。 この式の数学的な意味は、単に単位行列Eに行列Lを掛け算したら、行列Lになるよってそれだけのことです。 L=L×E ここで、係数Aはまだ確定していないものとします。 「量子物理」14話では、理由はよくわからないのですが 上昇・下降演算子L+とL-は角運動量のxとy軸方向成分LxとLyを使って、 L+=Lx+iLy L-=Lx-iLy と定義されており、また角運動量のz軸方向成分Lzは、交換関係を用いて iLz=[Lx,Ly] と定義されていたので、それに従うと、以下のようになります。 ここで、Lx、Ly、Lzの固有値を求めてみましょう。 Lx,Lyの固有値はλ=0,±A/√2 Lzの固有値はλ=0、±A^2/2 になるので、3軸の固有値がすべて整数、特に0、±1に揃うようなAを探すと、A=√2となります。 したがって、Lx,Ly,Lzはそれぞれ であることが判明しました。 固有値が求められたので、今度は固有ベクトルを求めてみましょう。 固有値が重解ではないので、固有ベクトルを規格化することが可能です。 Lxの固有ベクトルは、固有値が1,0,-1の場合にそれぞれ になるため、列ベクトルのノルムが1となるように規格化すると このようになります。 この3つ並んだ列ベクトルを行列とみなすと このようになって、行列式を計算してみると-1となり、ユニタリ行列であることがわかるかと思います。 LzはLz自身がすでに対角化されているので、状態固有ベクトルは単位行列となり、行列式はもちろん1の、ユニタリ行列です。 Lyの状態固有ベクトルは・・・材料は揃っているので計算してみてください。 昨日の日記のようになるはずです。 余裕があったら、3軸それぞれの対角化までやってみてください。
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y方向角運動量の、行列表現のやつです。このエルミート行列Aを対角化する際は、対角化のための行列Pが規格化できるため、きっちりユニタリ行列になってくれます。Pの行列式の値はiです
バレバレだよ！お前らが犯してなかったらこんなに宇宙豊かじゃないよってくらい恩恵被ってるよ！！！
忘れてましたが、テーマを移る前に、できることから片づけてしまいましょう。
スピノルが何者なのかはまだわからないとして、 先日、ディラック方程式をタキオン用にちょっと改造したやつがあってですね クラインゴルドン方程式がターディオン用だったら こうなるところを タキオン用に こうしたいので、 ディラック方程式のベータだけ 結局、ターディオンだとこうなるところを タキオン用にこうしようかなと こう、4つ目の行列だけ変更した、連立偏微分方程式にします。 この解であるΨにx,y,z方向に進行する平面波 を仮定すると それぞれ、 x方向 y方向 z方向 このような固有値問題になります。 このうち、z方向の固有値問題だけは、2次のペアに分解できますが、 x,y方向の固有値問題は4次のまま分解できません。 にもかかわらずエネルギー固有値は これを解いた2つしかないため、重複するかと思ってジョルダン標準形を身構えてしまったのですが そこはやはり量子力学、ジョルダン標準形が出てくるシーンがなかなかシャイなようで めったにお目にかかれないみたいです。 まだ僕はジョルダン標準形に慣れていないので、wolfram alphaでネタバレを見てしまったのですが 固有値の片割れE0を それぞれ以下のようなブラケットに囲まれて対角化されるようです。 ｘ方向 ｙ方向 ｚ方向 エネルギー固有値が、タキオン用に改造したクラインゴルドン方程式と一致するのはまあ、数学的に無矛盾なだけの必然なんでしょうたぶん 残念ながら今の僕の知識ではまだ、対角化された行列を囲むブラとケットに相当するスピノル が何を意味するのかがわかりません。 ターディオンにおけるp=0を非相対論的極限、光速付近の状態を超相対論的極限(僕は常相対論的極限と呼びたい)と呼ぶように タキオンにおけるE=0を超相対論的極限、光速付近の状態を常相対論的極限と呼べば、 タキオンとターディオンの常相対論的極限は、ルクソンの状態に統一的に近似されるはずだと思います。 また、「タキオンのほうの」超相対論的極限E=0にも何かが見いだせるのではないかと期待してます あとできることといえばアレですね、カイラリティだかヘリシティだかいうやつ たぶんテンソルほど難しくないと思いますので、近日中に仕上げたいと思います。 できればターディオンの非相対論的極限もあげておきたい。っていうか基本そっちのが先なんだけど。 追記 ２１：１１ 間違えました訂正 ただしくはこうです ｘ方向 ｙ方向 ｚ方向
特に、「その他の状態」の項目が素晴らしいです！
から が導き出せるよね って言ってるだけなんですが、これがかなり奥深くて 興味のある人にとっては、この角度は何に対する何の角度なんだ！？って疑問がふつう湧くじゃないですか！ で、その計算のための道具が、上に全部まとめられてるんですよ！ とりあえずθを、θxとθyとθzの3タイプ用意しましょう。 ケットベクトルはこのたった1つの例をもとに、このように組み立てられるはずです。 そして、ケットに対するブラも、ただエルミート共役を取るだけなので、以下のようにできるはずです。 そうして、期待値を求めますと <θx|sx|θx>、<θx|sy|θx>、<θx|sz|θx> <θy|sx|θy>、<θy|sy|θy>、<θy|sz|θy> <θz|sx|θz>、<θz|sy|θz>、<θz|sz|θz> の9通りが考えられるわけですが。興味のある人はぜひ計算してみてください。 sx、sy、szの定義もちゃんとwikiにそろってます。 そうすると、 となるはずで、これが何を意味しているかというと、こういうことです。 軸からどのくらい傾いているのかの角度によるコサイン成分を知りたければ、軸と同じsをθで挟めばいい たとえばcosθx=<θx|sx|θx>、cosθy=<θy|sy|θy>、cosθz=<θz|sz|θz>のような感じです。 ただし、サイン成分を必ずしも算出できる組み合わせとは限らない といったところが、z軸＞x軸＞y軸のような不平等さの表れとしてでているみたいです。 まあ仕方ないですよね。自由度が奇数個の3軸で、2項演算を考えようとすると必ずハブられがちな軸は出てきますよ。やっぱりy軸なんですね z軸優遇なのは球座標系が前提にあるからなのかなと思います ＝＝＝＝＝＝＝＝ こういう議論をですね、たった2行の式を書くだけで、興味のある人には自力で全部理解させる まったくクドくないwikipediaのこのページの書き方は教育者として素晴らしいなあ！って思ったんです
「実は半整数も許されている」っつって、半整数の代数を始めると
いつの間にか軌道角運動量ではなくスピン角運動量の話にすり替えられていたんだな。 ところで、「軌道角運動量」の代数として、3次の行列はよく見かけるが、5次以上の奇数次の行列の例はほとんど見かけない。 というか分子の話になってしまうらしい。そういうのはノーサンキューだというのに。 で、軌道角運動量が整数しか許されないのなら、行列は奇数次に限られて偶数次の行列は考えるだけ無意味ということになるんだな。 ところで、スピンはよく±1/2の量子数を見かけるが ±3/2もどうやら許容されるらしい。 ということは、半整数の「スピン角運動量」の量子数としては、対応する偶数次の行列の演算を考えることに意味はあるということか。 ところで、sxとsyの積がszに比例するのは2行2列のパウリ行列のみらしく 一般の次数においては、交換関係[sx,sy]がszに比例(線形従属)するらしい。危うく間違えるところだった。 こういう「代数」は何という呼び名なのだろう？これが行列力学というものなのか？ 色々と定義が紛らわしい聞く。 その上、この「代数(微分演算子としてではなく)」は主量子数や調和振動子の量子数にも当てはめられるもんなんだろうか。なんかすごく今更感があるが、興味が出てきた。 磁気量子数に対する代数もあるのだろうか ＝＝＝＝＝＝＝ そんなことを考えながら、散歩中にARIAの主題歌を聞いていたら ふと、灯里の友達3種類の業種の人たちについて 「そういえばウンディーネを合わせると3種類ではなく4種類になるんだな」と気づかされた。 ウンディーネ、サラマンダー、ノーム、シルフ 4か なんだろう、男3人に女1人、まるで四次元時空の擬人化のようだ。 ノームが上下方向は確定として シルフとサラマンダーは直交座標系だろうか いや、アクア自体が(円柱座標系ではなく球座標の方の)極座標系としてあらわされたとしても、アクアの住民にとってはほぼほぼ直交座標系だろう。 実は惑星ではなく灯里たち人間を基準にした極座標なのではないか。 だとすると仰角(ピッチ)がサラマンダーで、何時の方向とかいうアレ(ヨー)がシルフのような気がする。 ウンディーネが時間軸担当なのは当然だ。いやあるいは世界線担当でもいいかもしれない。 ヒルベルト空間になってしまうだろうか？
20160905日記の続きです。
エネルギー固有値まで求められました。 これをもとに固有ベクトルを計算して、3軸それぞれの平面波の波動関数を求めたいと思います。 まずはx方向から順に行きましょう。 固有エネルギーを求めたのですから、2対の行列の式は、2対の永年方程式になっているはずで 1つの行列方程式の1行目と2行目の式は、固有エネルギーにおいて、同じ式を意味することになります。 A1とA4の比を求めることが固有ベクトルということになりますが とりあえず文字が多いので運動量については エネルギーについては としますと、 の下のほうの式に着目して A1とA4の比はA4/A1=tanθ、 同様に A3/A2=tanθになります。 このことから、AとA'を独立の規格化定数として、2つの波動関数が計算でき となります。 Eと-Eを置き換えて この式と この式になります。 今度は上の方に着目して解きますと A1/A4=-tanθ=A2/A3になるので、波動関数は wtの符号が先ほどと逆になっていることに注意してください。 同様にしてy,z方向の波動関数も求めてしまいますと y方向は z方向は となります。 ここで、ψの添え字であるx,y,zは方向、↑↓矢印はスピン、＋は粒子、－は反粒子を意味しています。 また、スピン演算子として、4次に拡張した以下のようなパウリ行列を用いると このように自分自身へのブーメランになるので、検算になると思います。 数検よりもこっちのが楽しすぎて困る  にほんブログ村
これディラック方程式。 行列をほどいて、連立方程式にするとこう。 これに、x,y,zそれぞれの方向に進行している平面波の波動関数 をぶち込みますと Ψxとψyは「Ψ1とΨ4」「Ψ2とΨ3」の2元連立方程式に分離でき Ψzは「Ψ1とΨ3」と「Ψ2とΨ4」の2元連立方程式のペアに分離できます。 x方向進行 y方向進行 z進行方向 これら3つは、どれも固有値問題を彷彿とさせる形になっていて、4つの波動関数の振幅Aが任意であるように永年方程式になる条件を探ると、案の定固有値問題に帰着します。 固有エネルギーħwを固有値として求めると、3つとも この2パターン(4パターン？)のいずれかになって このようなエネルギー固有値が算出されます。 ħwがエネルギー固有値E(アインシュタインの関係式)であるように、ħkは進行方向の運動量p(ド・ブロイの関係式)なので上の式は このように変形でき、クラインゴルドン方程式の着想そのものです。 固有ベクトルは工事中なのでもうちょっと待って～＞＜ まあとりあえずx,y,zの進行方向で、同じ固有値を算出する行列が、可能なすべてのパターンを示してくれて一安心です。 波動関数がΨ1・3対2・4だったりΨ1・4対2・3だったりするのは、まあ特に気にすることはないと思います。 もともと同種の素粒子には顔がないので、属性がすべて同じなら区別できませんしねせんしね ところで、お気づきかと思いますが、クラインゴルドン方程式をディラック方程式に改良してもなお、マイナスのエネルギーの存在という問題は解決していません。 これが未発見の粒子「反粒子」の予言につながるのです。 世は動物園じだ～い 未知なる素粒子を求めて探求するじだ～い  にほんブログ村
これが こうなって こうなる。 波動関数だってベクトルになりたいんだ！夢ならーたくさんぱぱっぱー しかしなんで運動量まで1階微分になったし。 そんなんで波動方程式が維持できるのかよぉーヨーﾖｰ
とりあえず計算した
実数行列だけでも数値的に計算可能 どうも、筋が通っていればいろんな定義方法があるらしく 僕が計算しているのは「ディラック表現 」というものらしい
まずはガンマ行列の定義から。 内積±1(反交換関係=2g)っぽいやつ 0番目だけはγ自身がエルミート、それ以外のγ自身は歪(反)エルミートで、 0番目以外は自身の2乗がマイナスの単位行列になることに注意 そこんとこ、前回のディラック行列aとは違うよね 内積0(反交換関係=0)っぽいやつ 今ならパウリ行列も詰め合わせてごらんのお値段！(書いてない)やっすいでしょー ちょっと怖い話 エルミート行列同士の積が歪エルミート行列になるのは、 4次行列に始まったことじゃなく、2次のパウリ行列ですでに起きていたんやでぇ・・・ﾄﾞﾛﾛﾛﾛﾛ・・・  にほんブログ村
まずはディラック行列の定義から。 内積1(反交換関係=2)っぽいやつ 内積0(反交換関係=0)っぽいやつ パウリ行列も詰め合わせておきました。 ちょっと怖い話 エルミート行列同士の積が歪エルミート行列になることがあるんですよ・・・ﾄﾞﾛﾛﾛﾛﾛ・・・ にほんブログ村
さっきまでの日記の続きです。
このようなディラックの着想を満たす係数行列aは 以上のような中身であることがわかりました。 この両辺に、左からa0を掛け算してみましょう。 実は、このようにして定義されたa0ajがガンマ行列γjなのです。(j：0～3) つまりガンマ行列の中身はこのようになってまーす。 当然、ガンマ行列γj同士の間にも、ディラック行列ajのような反交換関係が成り立ちます。 {γj,γk}=2gjkE 今度はクロネッカーのデルタδjkの代わりにgjkというのが出てきました。見間違えないように気を付けてください。 これは相対論でよく出てくる計量というやつです。g00=1、それ以外のgjj=-1(j：1～3)というものです。第4の次元としての時間が、空間の次元とはちょっと違うよ、とか言って回ってるようなアイツです γ0だけエルミートで、残り3つのγは歪(反)エルミートであることがわかるかと思います。 ディラック方程式をさらに変形して、ctをx0に、それから移行して整理してみましょう。 このようになりました。あ～い気持ちいいでちゅね～ これを、アインシュタインの縮約記法を用いて簡略化してみますと、次のようになります。 ずいぶんすっきりとしましたね。 ここで、mc/ħの次元が長さのマイナス1乗であることを確認しておいた方がいいかもしれません あと、ダランベール演算子□を用いる書き方もあるのかな？ 微分記号をさらに略しますと、こうなります。 さらに、c=ħ=1という自然単位系とかいう記述にすると、もっと簡潔に書けます。 はいきたこれー。しまっちゃおうねー ＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ところで、このmは質量なんですがm=0にすると こうなるじゃないですか。 右辺がゼロなので虚数単位iは不要になりましたが、ガンマ行列まで不要になるかどうかはまだ検証してません。 ただ、マックスウェル方程式の相対論バージョンの記述方法 にすごく似てますよね・・・？jってのは確か、四元電流密度でしたっけ？ 電流密度ってことは、電場や磁場になりえるわけで、 もともとマックスウェル方程式は波動方程式になり得ましたし 波動関数ψだって波ですし 波動関数の絶対値の2乗が存在確率を表すというのも、もとをただせばエネルギースペクトル(実効値)からきたものですし フォトンには質量がないですし・・・ こいつらって統一できるんじゃね？って思っちゃうのは自然ですよねぇ？ たぶん、場の量子論とか第二量子化とかしてるやつらにとっては当たり前の日常・・・？ あー、勘違いしてた。うろ覚えだった∂j=0ってのはマックスウェル方程式じゃなくてローレンツ条件だったのかorz じゃあ似てて当たり前じゃねーか  にほんブログ村
昨日の続きです。
ディラック方程式に出てくるa0～a3の係数行列の中身はですね、以下のようになります。 これは、ちょうど2次のパウリ行列が2つずつ入れ子になっているので このように書くこともできます。 σ0は単位行列Eと同じなんですが、いわゆる3馬鹿トリオの4人目というやつです 反交換関係 {aj,ak}=2δjkE ただしjとkは0～3 を確かめてみてください＾＾ 4次の行列の積として計算する方法もありますが、パウリ行列内包型の2次の行列の積として計算してみるのもいいですよね。 あ、ちなみにパウリ行列がエルミートなので、4つのディラック行列もエルミート行列です
ことの始まりは、相対論的な速度における量子力学を作ってみよう
ということだったようです。 放射線や宇宙線などの素粒子は、結構亜光速で飛んだりしますので 相対論の部分を含んでいない量子力学じゃ役に立たないことも多いようで。 それでまず、エネルギーと運動量の関係を、ニュートン力学から相対論風に書きなおした式 のエネルギーEと運動量pに、それぞれ量子力学的な(偏)微分演算子 E=iħ∂/∂tとp=-iħ∇ をそのままぶっこんで、波動関数ψを両辺に掛け算した クラインゴルドン方程式 が成立するんじゃないかって気が最初はしたようなんですね。 割りと自然に導き出される式なんですが、理論的にも実験的にも総攻撃食らったらしくてですね 僕が参考にした本はこんな風に書いていたみたいです。 波動関数を時間で2階微分してるということは 波動関数の規格化と矛盾する。 2階微分ということは、初期値問題にしろ境界値問題にしろ 2つの独立した自由度が必要なわけです。 初期値問題だったら初期位置と初速度のようにです。 ところが、 このような、存在確率の時間微分のような演算をしようとしたとき 積の微分を用いてこのように書き変えることができ こうなるともう、2つの条件は独立ではいられないわけですよ。 だったらクラインゴルドン方程式の両辺の平方根を取ろうじゃないかってことになって なんかとりあえずこうおいて 上の式と下の式が恒等的に一致する、 新しい式を考えてみよう＼PON／ 無茶～ブリ～すぎーてー ああ行列になっちゃったーストラクチャー♪ ディラック～ディラック～スカラーの係数が～出ないっ！ ディラック～ディラック～考えるのがツラいっ！正解はどこ？わからない だーれかーたーすけてーふんふんふーん 下の右辺を2乗したら上の右辺のルートの中身になる としたら、直交関係めいた、自身の2乗は有限だけど、クロスタームはゼロにしなきゃならない そんなんスカラーじゃありえねえ！ まあそういうわけなんですわ。ディラック方程式ってのは。 だから、jとkを0～3としたとき、反交換関係 {aj,ak}=2δjkE (Eは単位行列) が成り立つ4つの4次行列a0～a3が定義されるわけです。はい
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ＨＮ：
量子きのこ
年齢：
43
ＨＰ：
性別：
男性
誕生日：
1981/04/04
職業：
WinDOS.N臣T
趣味：
妄想・計算・測定・アニメ
自己紹介：
日記タイトルの頭についてるアルファベットは日記の番号です
26進数を右から読みます 例：H→7番目、XP→15(P)×26＋23(X)=413番目。 A=0とする仕様につき一番右の桁はAにできませんのでご了承くださいｽﾞｺｰ
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