3状態系の球面調和関数の代数表現(具体例)

どこからどこまで自分で再発見した車輪なのかおぼろげなのですが、放送大学「量子物理」の小形正男さんによる14話、

3状態系の調和関数の代数的表現(行列表現)を参考に、ある程度自力で2状態系に応用したら
それがスピンやパウリ行列そのものだった

といったような記憶があって


先日の日記で、余裕がなかったので定性的な話を多めにしたら
自分でしゃべってようやく自分で気づきました。

固有ベクトルがユニタリになるのは必然なんじゃないかなって。
こういうところに定性的な話の重要性があるようですね。


そこで、量子物理14話に今一度戻って、3状態系の球面調和関数を例に、固有状態を計算してみたのがこちらです。

行列表現は抽象化されていて、あまり具体例を見ない気がするので、よかったら参考にしてもらえればと。


まず、このように3状態を定義します。
一番高い状態

中くらいの状態

一番低い状態


これらの状態を1つ上に押しやるのが上昇演算子L+ 
1つ下に下げるのが下降演算子L-とすると、
3状態横に並べて、まとめてこのような行列の積で書けるはずです。




ただし、一番上の状態をさらに上げようとしても上がりませんし
一番下の状態をさらに下げようとしても下げられません。

この式の数学的な意味は、単に単位行列Eに行列Lを掛け算したら、行列Lになるよってそれだけのことです。

L=L×E


ここで、係数Aはまだ確定していないものとします。

「量子物理」14話では、理由はよくわからないのですが
上昇・下降演算子L+とL-は角運動量のxとy軸方向成分LxとLyを使って、

L+=Lx+iLy
L-=Lx-iLy

と定義されており、また角運動量のz軸方向成分Lzは、交換関係を用いて

iLz=[Lx,Ly]

と定義されていたので、それに従うと、以下のようになります。



ここで、Lx、Ly、Lzの固有値を求めてみましょう。

Lx,Lyの固有値はλ=0,±A/√2
Lzの固有値はλ=0、±A^2/2

になるので、3軸の固有値がすべて整数、特に0、±1に揃うようなAを探すと、A=√2となります。


したがって、Lx,Ly,Lzはそれぞれ


であることが判明しました。

固有値が求められたので、今度は固有ベクトルを求めてみましょう。
固有値が重解ではないので、固有ベクトルを規格化することが可能です。

Lxの固有ベクトルは、固有値が1,0,-1の場合にそれぞれ

になるため、列ベクトルのノルムが1となるように規格化すると

このようになります。

この3つ並んだ列ベクトルを行列とみなすと

このようになって、行列式を計算してみると-1となり、ユニタリ行列であることがわかるかと思います。

LzはLz自身がすでに対角化されているので、状態固有ベクトルは単位行列となり、行列式はもちろん1の、ユニタリ行列です。

Lyの状態固有ベクトルは・・・材料は揃っているので計算してみてください。
昨日の日記のようになるはずです。

余裕があったら、3軸それぞれの対角化までやってみてください。