ディラック方程式を平面波について解きます

これディラック方程式。



行列をほどいて、連立方程式にするとこう。


これに、x,y,zそれぞれの方向に進行している平面波の波動関数


をぶち込みますと

Ψxとψyは「Ψ1とΨ4」「Ψ2とΨ3」の2元連立方程式に分離でき
Ψzは「Ψ1とΨ3」と「Ψ2とΨ4」の2元連立方程式のペアに分離できます。


x方向進行


y方向進行


z進行方向


これら3つは、どれも固有値問題を彷彿とさせる形になっていて、4つの波動関数の振幅Aが任意であるように永年方程式になる条件を探ると、案の定固有値問題に帰着します。
固有エネルギーħwを固有値として求めると、3つとも

(1つの式の中で複合同順)
この2パターン(4パターン？)のいずれかになって
 
このようなエネルギー固有値が算出されます。
ħwがエネルギー固有値E(アインシュタインの関係式)であるように、ħkは進行方向の運動量p(ド・ブロイの関係式)なので上の式は



このように変形でき、クラインゴルドン方程式の着想そのものです。


固有ベクトルは工事中なのでもうちょっと待って～＞＜


まあとりあえずx,y,zの進行方向で、同じ固有値を算出する行列が、可能なすべてのパターンを示してくれて一安心です。
波動関数がΨ1・3対2・4だったりΨ1・4対2・3だったりするのは、まあ特に気にすることはないと思います。
もともと同種の素粒子には顔がないので、属性がすべて同じなら区別できませんしねせんしね


ところで、お気づきかと思いますが、クラインゴルドン方程式をディラック方程式に改良してもなお、マイナスのエネルギーの存在という問題は解決していません。
これが未発見の粒子「反粒子」の予言につながるのです。

世は動物園じだ～い
未知なる素粒子を求めて探求するじだ～い




にほんブログ村