昨日のエネルギー等分配で言いたかったこと

時間に依存しない、2次元のシュレディンガー方程式

を変数分離するなら

こう仮定した上で

順調に変数分離の手続きを踏んだ後

このようにすれば、対称性を保てて、何かと都合がいいのではないかなーということでした
右辺か左辺どちらかにU-Eの項を偏らせるよりはマシかなあと


今日は疲れたぜぇー！でもすっげえ有意義な時間だった！楽しかった！

2次元井戸型ポテンシャルの解析解(てさぐり)

とりあえず解析解から出してみようとしてるけど、まったくネタバレ見てない未知の領域だから
こええええーー！この未知あってんのかよ・・・！？


各軸xさんとyさんにエネルギー等配分して、対称性持たせた式にしたほうがよくね？って思った
自分で言ってて熱力学の等配分の意味が分かったようなそうでもないような

シュレディンガー方程式の数値解(1次元その他)

なんかこう、1次元だとシュレディンガー方程式でもポテンシャルに応じてやり方を変えてうんぬんしなくて済むことはわかった。


じゃあさっさと、∇=∂/∂xを∇=i∂/∂x+j∂/∂yに拡張しなさいよって話よな。

拡張自体はさほど難しくないのだろう。
元々一次元でやってたころから、微分方程式を解いてた方法が差分法みたいな割とざっぱな方法だったから
2次元に変わってもそこは変わらない。


問題は、表現だ。
波動関数そのものに実部と虚部があるもんだから、1次元の運動でも3Dにしないといけないくらい情報量が多い
2次元になったら
・x
・y
・ReΨ
・ImΨ

まあ1つ増えるだけだが、4次元になってしまう。(1つ増えるだけでほんと助かった・・・)

これをどう表現するか。
・Arg
と
・Abs

にするのはすごくもっともらしいとは思う。

3次元目を絶対値にして、偏角(位相)を色に・・・
いやでも色て・・・
x,y,Absの山に・・・色を・・・塗るのか・・・？あんま聞いたことのない表現だな


まあ、まずは
・x
・y
・Re

と
・x
・y
・ImΨ

の2画面方式でやってみるのが吉だろうなあ

それから、
・x
・y
・Abs

と
・x
・y
・Arg

の2画面って段階踏んでもいいし


ああそうか、最終的な出力がモンテカルロなツブツブになるから、違和感があるのか。

だったら、こっちもツブツブに色を塗るまでよ(このほうが表現としては楽そう)
これだったら3D表現である必要もない。2Dで十分だ。
つまり、x,y,zの3次元でも表現は可能ということだ。実際、動画でそうやってる人たちがわんさかいる


とりあえずは、x,yについては極座標とか角運動とか一切考えずに、
正方形なり長方形なりの井戸型ポテンシャルでも考えてみよう。


縮退についての新しい知見でも見つかったら儲けもんだ

無限深さの井戸型ポテンシャルの長縄飛び

波動関数が時間変動する長縄飛びだとすると、存在確率はReΨ、ImΨ、xの3D上の、
縄跳びを一周くるっと回った長縄飛び楕円体の体積を1にする規格化になるじゃないですか


なんかいい図的な表現方法ないかな。もちろんExcelのグラフで古風にね。
回転楕円体の中に乱数ツブツブでも入れようかなあ

波動関数、有限井戸端の境界条件

そういえば、深さ有限の井戸型ポテンシャルの端っこ
波動関数が染み出るあたりの境界条件、ノイマンでもディリクレでもないよね。

というか、あれ？ノイマンかつディリクレなのか？
ロビン境界条件でも混合境界条件でもないよなあ
もしかしてこれ、コーシー境界条件じゃね！？
なぜだ！？「コーシー境界条件　波動関数」でぐぐると、コーシーがはじかれるんだけど！？なんで！？

3状態系の角運動量のx・y方向成分の固有状態、scilabでの実装

//x方向成分の固有状態をロドリゲスで


x=-1/2
z=1/2
y=1/sqrt(2)
s=%pi

x=x*s　//規格化解除
y=y*s
z=z*s

sx=[0,0,0;0,0,-1;0,1,0]　//ゲルマン行列
sx=sx*%i　//エルミートに
sy=[0,0,-1;0,0,0;1,0,0]
sy=sy*%i
sz=[0,-1,0;1,0,0;0,0,0]
sz=sz*%i

R=%i*(-sx*x+sy*y-sz*z)

clean(expm(R))


 
＝＝＝＝＝＝＝
//エルミートの確認
M1'-M1


//ユニタリの確認
M1'-inv(M1)


//特殊ユニタリの確認
det(M1)=1

//固有値
spec(M1)





＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
//y方向成分の固有状態を改造版ロドリゲスで

x=-1/2
z=1/2
y=-1/sqrt(2)
s=%pi

x=x*s　//規格化解除
y=y*s
z=z*s

sx=[0,0,0;0,0,1;0,1,0]　//ゲルマン行列
sy=[0,0,-1;0,0,0;1,0,0]
sy=sy*%i //エルミートに
sz=[0,1,0;1,0,0;0,0,0]

R=%i*(sx*x+sy*y+sz*z)

M2=clean(expm(R))

 



＝＝＝＝＝＝＝＝
//エルミートの確認
M2'-M2


//ユニタリの確認
M2'-inv(M2)


//特殊ユニタリの確認
det(M2)=1


//固有値
spec(M2)

角運動量のy成分の固有状態は、どの方向に何度かな～？

3状態系の、角運動量の、y方向成分の固有状態3つを横に並べると、
このような、特殊ユニタリでもありエルミートでもある行列になります。

 
(先日は符号を真逆に表示してましたすみません)


さきほどのx成分の記事同様、これも特殊ユニタリSU(3)の生成子から作れるはずだと思いまして

ただし、今回は非対角成分の一部に純虚数を含んでいますので、
単純に、ゲルマン行列8種類のうちから、純虚数のσだけ選ぶことはできません。
σが純虚数だけでできているとき、生成子から生成される特殊ユニタリそのものは、実数になり、
σが実数だけでできているときの特殊ユニタリは複素数になります。

また、純虚数の配置から、x軸とz軸回転に相当する回転行列が複素数になりえるというアナロジーから、今回はσ1、、σ5、σ6を使い、任意軸回転行列のようなもの「改造版ロドリゲスの回転公式」を作ることにします。

 


つまり、これが改造版ロドリゲスの回転公式になります。
（ただし、右手系になるような符号の調整は後回しにします）

交代行列R=i(σ67*x+σ5*y+σ1*z)を
 
と定義すると(iは虚数単位)

この場合も、
exp(R)=M=E+R*sinθ+R^2*(1-cosθ)

となります。(Eは単位行列で、x,y,zは規格化条件x^2+y^2+z^2=1を満たすものとします)

指数関数expをテイラー展開するのですが
ここでも、R^3=-Rが成り立つと判明しているので、本家ロドリゲス同様の不格好な公式が導けます。


実装して比べてみますと
 
このようになります。三角関数の中身Θを省略して書いてしまいましたが、存在しています。
元々、Θ=(θx,θy,θz)という角運動量のようなベクトルだったのを、絶対値|Θ|=√(θx^2+θy^2+θz^2)と向き(x,y,z)=(θx,θy,θz)/Θに分けて書きなおしているのです。

ここで、対角成分だけを抜き出して比べてみましょう。
 
このような連立方程式になりますが、3つを全部足してみると、うまいことx,y,zが消えてくれて
cosθ=-1だということがわかります。(3本に見えて実は4本の連立方程式だったのです)
つまりθ=πです。


このθを上の3つの式に代入しなおしてやりますと、x,y,zがある程度求まりまして

x=±1/2,z=±1/2,y=±1/√2
と求まりますが、この複合は同順ではありません。

そこで、非対角成分、特に上三角(下三角でやっても意味同じです)の3本の式に入れることで確定してみます。

すると、x=±1/2,z=-(±1/2),y=±1/√2と、ようやく定まりました。
今度は複合同順です。

±がついていますが、どうせθ=πなので、符号はどちらか片方で構いません。


つまり3次元の回転行列に見立てると
-x=z=1/2,y=-1/√2,θ=πが、なぜか固有状態に相当するらしいです。


この結果に何の意味があるのかはわかりません。遊びですｗ

やっぱり
y軸だけなんとなく非対称な感じがしますね。
まずxz平面で固めてから((1/2)^2+(1/2)^2=1/2)、
xz-y平面にまとめた(1/2+(1/√2)^2=1の単位ベクトル(x,y,z))感じがします。

角運動量のx成分の固有状態は、どの方向に何度かな～？

3状態系の、角運動量の、x方向成分の固有状態3つを横に並べると、
このような、特殊直交でもあり実対称でもある行列になります。




それならば、 特殊ユニタリ行列SU(3)や特殊直交行列を、生成子から作れるように
この行列もまた、生成子から作れるはずだと思いまして。

3次の特殊直交行列SO(3)、つまり実数行列なので、ゲルマン行列8種類のうち、純虚数成分だけ含む3種類の生成子σ2,5,7だけを用います。




つまり、これはロドリゲスの回転公式そのものということです。
（ただし、右手系になるように符号を調整しています）

交代行列R=i(-σ7*x+σ5*y-σ2*z)を

と定義すると(iは虚数単位)

exp(R)=M=E+R*sinθ+R^2*(1-cosθ)

となります。(Eは単位行列で、x,y,zは規格化条件x^2+y^2+z^2=1を満たすものとします)

指数関数expをテイラー展開するのですが
R^3=-Rとなる性質を利用して、上記のようなちょっと不格好な公式が導けます。


実装して比べてみますと

このようになります。三角関数の中身Θを省略して書いてしまいましたが、存在しています。
元々、Θ=(θx,θy,θz)という角運動量のようなベクトルだったのを、絶対値|Θ|=√(θx^2+θy^2+θz^2)と向き(x,y,z)=(θx,θy,θz)/Θに分けて書きなおしているのです。

ここで、対角成分だけを抜き出して比べてみましょう。

このような連立方程式になりますが、3つを全部足してみると、うまいことx,y,zが消えてくれて
cosθ=-1だということがわかります。(3本に見えて実は4本の連立方程式だったのです)
つまりθ=πです。


このθを上の3つの式に代入しなおしてやりますと、x,y,zがある程度求まりまして

x=±1/2,z=±1/2,y=±1/√2
と求まりますが、この複合は同順ではありません。

そこで、非対角成分、特に上三角(下三角でやっても意味同じです)の3本の式に入れることで確定してみます。

すると、x=-(±1/2),z=±1/2,y=±1/√2と、ようやく定まりました。
今度は複合同順です。

±がついていますが、どうせθ=πなので、符号はどちらか片方で構いません。


つまり3次元の回転行列に見立てると
-x=z=1/2,y=1/√2,θ=πが、なぜか固有状態に相当するらしいです。


この結果に何の意味があるのかはわかりません。遊びですｗ

y軸だけなんとなく非対称な感じがしますね。
まずxz平面で固めてから((1/2)^2+(1/2)^2=1/2)、
xz-y平面にまとめた(1/2+(1/√2)^2=1の単位ベクトル(x,y,z))感じがします。

特殊ユニタリかつエルミートな行列(単位以外で)

けものフレンズ×量子力学SS

かばん「サーバルちゃん！5次行列の特殊ユニタリの作り方、別解を見つけたよ！」

サーバル「えっと・・・」

かばん「量子力学における、5状態系の角運動量演算子の代数を思い出してみて！？」

サーバル「・・・わかんないや！」

かばん「あ、そっか・・・このサーバルちゃんはダイバージェンスが1頭身低い世界線のサーバルちゃんだった・・・。じゃあこれの行列式わかる！？」

サーバル「わかるよ！今計算してみるねー！うーみゃみゃみゃみゃ！みゃぁー！」

p1=[1/4;%i/2;-sqrt(6)/4;-%i/2;1/4]
p2=[1/2;%i/2;0;%i/2;-1/2]
p3=[sqrt(6)/4;0;1/2;0;sqrt(6)/4]
p4=[1/2;-%i/2;0;-%i/2;-1/2]
p5=[1/4;-%i/2;-sqrt(6)/4;%i/2;1/4]
P=[p1,p2,p3,p4,p5]
det(P)
scilab
サーバル「マイナス1だよ」

かばん「じゃあ、2列目全体をiで割って、3行目全体の符号を反転して、4行目全体にiをかけたら、行列式はどうなるかな！？」

サーバル「うーみゃみゃみゃみゃ！みゃぁー！」
p2=p2/%i
p3=-p3
p4=p4*%i
scilab

サーバル「1になったよ！かばんちゃん！」

かばん「ちゃんとユニタリになってるかもう一度確認してみてくれる！？」

サーバル「P-P'　おおー！ゼロ行列だよ！すっごーい！」

かばん「おおー！・・・ん？もうサーバルちゃんのドジー＾＾；それはユニタリ行列じゃなくてエルミート行列の性質でしょ～」

サーバル「ごめんごめん＾＾；clean(inv(P)-P')　ええ！？これもゼロ行列だよ！」

かばん「えええええ！？特殊ユニタリかつエルミートな5次行列なのぉー！？」

？？？「これが”りょうし”のすごさなのです」

？？「なのです」

かばん「博士！それに助手！」

コノハ博士「りょうしのすごさがわかったのなら、さっさとおかわりを作るのです」

ミミ助手「とっととやるのです」

かばん「ちょっと待ってください＾＾；今これを作ってて」
 

n=now()-today()
t=1000000n
角度(°)＝mod(round(t,0),360)
角度(rad)=角度(°)*PI()/180
mmult(横ベクトル、回転行列)
z=z+下駄
A：ズーム
x=Ax/z
y=Ay/z
x-yの2Dグラフを表示
 

コノハ博士「なんですかこれは！？」

ミミ助手「ヒトの遺物、Excelなのです」

かばん「エルミートかつユニタリな行列の可視化器を作ってまして・・・

5次行列なので、要素が25個あって、固有ベクトルなのを5本の串1本1本に刺さったサイコロステーキで表現してみました。

バツ印のついているほうが向きで、絶対値は、側面の面積で表現しています。

固有ベクトルなので、それぞれの列を串で回転させることができます。

ただし、エルミート行列の固有状態なので、90度ごとにとびとびになってます。

規格化された固有ベクトルなので、サイコロステーキ串1本当たりの1側面の面積の和は5本とも1です」

ミミ助手「じゅるり・・・」

コノハ博士「これが・・・りょうしですか！！！」

サーバル「私はカット役だよ！」

ミミ助手「この計算をサーバルがやったのですか！？」

サーバル「ふっふーん！」

コノハ博士「ヒトの遺物scilabを用いているとはいえ、これだけのルールを扱うとは、サーバル、なかなかやりますね」

ミミ助手「我々と同じくらい賢い素質があるのです」

サーバル「やったー！」

かばん「やったねサーバルちゃん！」




コノハ博士「それにしてもかばんはアホなのです」

かばん「ええ！？」

ミミ助手「なぜExcelで、しかもマクロなしでこれを作ろうと思ったのですか！？労力の無駄遣いです」

かばん「デスヨネー＾＾；プログラミングがまだ怖くて・・・」

コノハ博士「かばんにも怖いものがあるのですか」

サーバル「大丈夫だよ！フレンズはお友達のためなら怖いものでも克服しちゃうんだから！ほら～」

ミミ助手「サーバル！やめるのです！図書館が！本が！我々の不動産、知的財産が！燃え尽きてしまうのです！！！」

かばん「ギンギツネさん、キタキツネさん！タライさんの出番ですよー！」

ギン「私たちも不動産なら持ってるのにねぇ？」

キタ「持ってないのはセルリアンハンターくらいだよ」

5状態系の角運動量の、固有値を求めてみましょう2

おとといの続きです。

暴風雨がうるさくて怖いので、なるべく無心に、何も考えないで作業して暇をつぶします。

5状態系の角運動量のy成分Lyを行列表現すると


こうなるので、おとといと同様に、λを固有値として
|2Ly-2λE|=0となるλを計算してみましょう。

 
1行目をi/λ倍したものを2行目から引いて、2行目に代入します。


5次行列式が1次減って4次行列式になるので、
ふたたび

1行目をλ/(-2λ^2+2)×(i√6)倍して2行目から引き、それを2行目に代入しましょう。


そうすると行列式が3次まで減らせるので、

1行目を(-2λ^2+2)/(4λ^3-10λ)×(i√6)倍して2行目から引き、それを2行目に代入して、次数を2次にします。


最後に、
1行目を(4λ^3-10λ)/(-8λ^4+32λ^2-12)×(i2)倍して2行目から引いたものを2行目に代入し、自明なスカラーにしてしまいましょう。




おとといと同じ方程式が出てきましたね。
-32λ(λ^4-5λ^2+4)=0

これは
-32λ(λ^2-1)(λ^2-4)=0
に因数分解でき、さらに

-32λ(λ+1)(λ-1)(λ+2)(λ-2)=0

に因数分解できるので

固有値はλ=0,±1,±2の5つとなります。
おととい同様、エルミート行列だったので、固有値が実数でしたね。
また、-2λが5つあるので、
展開した多項式におけるλの最大次数は5で、その係数は(-2)の5乗で-32になりましたね。

今日のサイコロステーキ行列

進捗ここまで～

今のところ、要素に実部か虚部どちらかにしか印がないので、明日はペア揃える。

備忘録：行列は焼肉

サイコロステーキの側面面積をノルムにしよう！

5状態系の角運動量の、固有値を求めてみましょう1

まずはx成分から。
Lxは

こうなので、λを固有値として
2Lx-2λEの行列式を求めてみましょう。


ここで、1行目を1/λ倍して、2行目から引いた値を、2行目に代入してみますと、1列目がほとんどゼロになるので、
5次の行列を4次の行列に縮めることができます。

 

4次の行列でも同様に、

②←②-①×λ/(2-2λ^2)×√6

を行って、3次の行列に縮めることができます。




さらに、②←②-①×(2-2λ^2)/(4λ^3-10λ)×√6をして2次に




②←②-①×(4λ^3-10)/(-8λ^4+32λ^2-12)×2　をしてスカラーの方程式にしますと
 

-32λ(λ^4-5λ^2+4)=0

という方程式になります。

これをλ^2について因数分解すると

-32λ(λ^2-1)(λ^2-4)=0

になるので、さらに因数分解しますと

-32λ(λ+1)(λ-1)(λ+2)(λ-2)=0

となって、固有値λ=0,±1,±2を求めることができます。

エルミートかつユニタリな行列を量産する量子力学

2017/10/12のコイツ

3状態系の角運動量のx軸成分の固有状態を並べたもの

コイツは素直にエルミートかつユニタリっすよね。

じゃあ2017/10/11のコイツ
 
角運動量のy軸成分はどうでしょうか。
ユニタリですが、エルミートではありませんね。

しかし、縦に並んでいる3つの串と見なせば、この串を90度ずつ回転させる自由度はあるので
真ん中の列ベクトルをごっそり-i倍してみましょう。

そうするとまず、こうなりますよね

2行2列目を実数に保ちつつ、2行1列目に1行2列目を合わせる形で、列ベクトルの串を90度回転させました。

そうしたら、今度は2行3列目と3行2列目の帳尻を合わせるように、3列目の列ベクトルの串を90度ずつ回したいので、今回はごっそり180度回転させてしまいますと


このようになって、1行3列目と、3行1列目の帳尻もちゃんと合ってることがわかり、
無事、エルミートかつユニタリとなりました。

この固有状態の行列式は-1です。
固有値の絶対値も、3つとも1です。
4と1/2と1/2などということはありません。
トレースも1であることがわかるため、固有値は1が2つカブっていて、そのほかに-1があることがわかるかと思います。

わざわざ固有方程式を出すまでもなく、因数分解した結果がわかっているということです。
(λ+1)(λ-1)(λ-1)=0





＝＝＝＝＝＝＝＝＝
5状態系もやってみましょう。
昇降演算子はそれぞれ
 
このような係数になっているので
LxとLyはそれぞれ

こうなり、
Lzは交換関係iLz=[Lx,Ly]から


こうなります。

Lzはもちろん、LxとLyからも、共通の固有値±2,±1,0が導出できて

固有ベクトルはx,y方向それぞれ


と
 
となり、エルミートかつユニタリになりました。
z方向の固有状態は単位行列となり、

どうも
x：実対称行列かつユニタリ
y：エルミートかつユニタリ
z：単位行列

となる癖があるようですね。

ユニタリであることと、行列式とトレースから、このユニタリの固有値はすぐに
-1,1-1,1,1
と求めることができます。
つまり逆算すると

(λ+1)(λ-1)(λ+1)(λ-1)(λ-1)=0

という5次方程式になるはずということです。

ためしに、5状態系で、固有状態の行列式がiになるような状況で固有方程式を求めてみたところ
解として-1の複素原始3乗根「ω+1」が出てくる方程式が現れたことがありました。

てっきり360°を5等分する、代数的ではない(三角関数的)な解が出てくることを期待したのですが
いまいちうまくいきませんでした。
もしかしたらほかの状態だと72度の三角関数が顔を出してくれたのかもしれません。



偶数次の行列も、許されていないわけではないようなので、そのうちやってみようかと思ってます。
scilabに時々頼るのですが
瞬時に固有値が出たり、固有方程式が解析的に出せたりして、それでいて無料なので
便利ですよね。


ああそういえばCV：くじら偶蹄目で思い出したんですが
動物の蹄にスピンなんか関係しませんよねたぶん
偶数に割れてるのがボソンで、
奇数に割れてるのがフェルミオンで
どちらかだけ口蹄疫に感染するとか、まさか～ｗｗｗ


関係があるとしても、たぶん、同じ数学を使う全然別の現象
クォークのひも理論と超ひも理
あるいは
量子力学に使うパウリ行列と3DCGに使うクォータニオン
ぐらい違うんじゃないかな



P†=inv(P)
かつ
P†=P
だからinv(P)=Pで
対角化がJ=PAPなのはじわじわ草生えます





追記
そういえば3状態の固有状態の行列式ですが、-1になってましたね。
この3列とも符号を反転させれば、めでたく行列式をプラスにすることができますね。

ということはええと、特殊ユニタリ・・・のような気がしますね。まじですか
生成子と結び付けることが可能と・・・

今日も定性的な話をするのか

楽しい楽しいツイッターのせいで！！！！



5状態系の角運動量の固有状態を考えますよ

5行5列の行列で表されるじゃないですか。
固有値を求めて、それから固有ベクトルを規格化して。

まあ規格化した固有ベクトルだから、並べるとユニタリになるわけですけど、
固有ベクトルを求める際の連立方程式って永年方程式じゃないですか。
自由度が1つ余ってるんですよ。

こいつをうまく回してやると、ユニタリでありながらエルミートでもある行列が作れちゃうわけです

例えて言うなら焼肉です。

5つのサイコロステーキが1本の串に刺さっているとしましょう。

これが5本あります。

この5本の串を、サイコロの1面だけあぶるように、90度ずつクルクル回転させると
それぞれ最適な角度で、エルミート行列になりえるんです。おそらく必ずなりえるんです。

行列は焼肉だ！といいますが、まさにそれです。

エルミート行列の固有値を取るだけなので、固有値は必ず実数になるじゃないですか。
そうすると、元の行列が実対称行列ではなく、あくまでエルミート行列なので
固有ベクトルは90度ごとに4つありえるわけです。

これが、もっと一般的な行列で、固有値がカブらなかったら
固有値は5つの複素数として一般化されるでしょう
そしたら、固有ベクトルは90度といった量子化された角度で回るだけでなく
もっと連続的な回転角を持って、最適な角度でエルミートになるでしょう。


ところが、エルミートなので、ぐるっと一周360度の間に0,90,180,270°の4つしか状態がないわけですよ。

エルミート行列だとそこんとこかなり都合が良く、
実際エルミート行列は重宝されます。

だから、行列は焼肉だっつってんすよ！


ところで、ユニタリっつうことは
行列式の絶対値が1なだけじゃなく
個々の固有値も、複素平面の単位円上に必ずあるわけで
ユニタリかつエルミートっつったら
偶数次だったら1と-1が同数
奇数次だったら1と-1の個数が1つ違いでカブってる以外ありえないわけです。

固有値方程式を行列式から求めなくても、想像に難くないわけですよ



そんな行列を量産できるんです。量子力学の知識で。
さあどっちが道具でどっちが使役者したか？数学ですか？量子力学ですか？