5状態系の角運動量の、固有値を求めてみましょう1

まずはx成分から。
Lxは

こうなので、λを固有値として
2Lx-2λEの行列式を求めてみましょう。


ここで、1行目を1/λ倍して、2行目から引いた値を、2行目に代入してみますと、1列目がほとんどゼロになるので、
5次の行列を4次の行列に縮めることができます。

 

4次の行列でも同様に、

②←②-①×λ/(2-2λ^2)×√6

を行って、3次の行列に縮めることができます。




さらに、②←②-①×(2-2λ^2)/(4λ^3-10λ)×√6をして2次に




②←②-①×(4λ^3-10)/(-8λ^4+32λ^2-12)×2　をしてスカラーの方程式にしますと
 

-32λ(λ^4-5λ^2+4)=0

という方程式になります。

これをλ^2について因数分解すると

-32λ(λ^2-1)(λ^2-4)=0

になるので、さらに因数分解しますと

-32λ(λ+1)(λ-1)(λ+2)(λ-2)=0

となって、固有値λ=0,±1,±2を求めることができます。