エルミートかつユニタリな行列を量産する量子力学

2017/10/12のコイツ

3状態系の角運動量のx軸成分の固有状態を並べたもの

コイツは素直にエルミートかつユニタリっすよね。

じゃあ2017/10/11のコイツ
 
角運動量のy軸成分はどうでしょうか。
ユニタリですが、エルミートではありませんね。

しかし、縦に並んでいる3つの串と見なせば、この串を90度ずつ回転させる自由度はあるので
真ん中の列ベクトルをごっそり-i倍してみましょう。

そうするとまず、こうなりますよね

2行2列目を実数に保ちつつ、2行1列目に1行2列目を合わせる形で、列ベクトルの串を90度回転させました。

そうしたら、今度は2行3列目と3行2列目の帳尻を合わせるように、3列目の列ベクトルの串を90度ずつ回したいので、今回はごっそり180度回転させてしまいますと


このようになって、1行3列目と、3行1列目の帳尻もちゃんと合ってることがわかり、
無事、エルミートかつユニタリとなりました。

この固有状態の行列式は-1です。
固有値の絶対値も、3つとも1です。
4と1/2と1/2などということはありません。
トレースも1であることがわかるため、固有値は1が2つカブっていて、そのほかに-1があることがわかるかと思います。

わざわざ固有方程式を出すまでもなく、因数分解した結果がわかっているということです。
(λ+1)(λ-1)(λ-1)=0





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5状態系もやってみましょう。
昇降演算子はそれぞれ
 
このような係数になっているので
LxとLyはそれぞれ

こうなり、
Lzは交換関係iLz=[Lx,Ly]から


こうなります。

Lzはもちろん、LxとLyからも、共通の固有値±2,±1,0が導出できて

固有ベクトルはx,y方向それぞれ


と
 
となり、エルミートかつユニタリになりました。
z方向の固有状態は単位行列となり、

どうも
x：実対称行列かつユニタリ
y：エルミートかつユニタリ
z：単位行列

となる癖があるようですね。

ユニタリであることと、行列式とトレースから、このユニタリの固有値はすぐに
-1,1-1,1,1
と求めることができます。
つまり逆算すると

(λ+1)(λ-1)(λ+1)(λ-1)(λ-1)=0

という5次方程式になるはずということです。

ためしに、5状態系で、固有状態の行列式がiになるような状況で固有方程式を求めてみたところ
解として-1の複素原始3乗根「ω+1」が出てくる方程式が現れたことがありました。

てっきり360°を5等分する、代数的ではない(三角関数的)な解が出てくることを期待したのですが
いまいちうまくいきませんでした。
もしかしたらほかの状態だと72度の三角関数が顔を出してくれたのかもしれません。



偶数次の行列も、許されていないわけではないようなので、そのうちやってみようかと思ってます。
scilabに時々頼るのですが
瞬時に固有値が出たり、固有方程式が解析的に出せたりして、それでいて無料なので
便利ですよね。


ああそういえばCV：くじら偶蹄目で思い出したんですが
動物の蹄にスピンなんか関係しませんよねたぶん
偶数に割れてるのがボソンで、
奇数に割れてるのがフェルミオンで
どちらかだけ口蹄疫に感染するとか、まさか～ｗｗｗ


関係があるとしても、たぶん、同じ数学を使う全然別の現象
クォークのひも理論と超ひも理
あるいは
量子力学に使うパウリ行列と3DCGに使うクォータニオン
ぐらい違うんじゃないかな



P†=inv(P)
かつ
P†=P
だからinv(P)=Pで
対角化がJ=PAPなのはじわじわ草生えます





追記
そういえば3状態の固有状態の行列式ですが、-1になってましたね。
この3列とも符号を反転させれば、めでたく行列式をプラスにすることができますね。

ということはええと、特殊ユニタリ・・・のような気がしますね。まじですか
生成子と結び付けることが可能と・・・