角運動量のy成分の固有状態は、どの方向に何度かな～？

3状態系の、角運動量の、y方向成分の固有状態3つを横に並べると、
このような、特殊ユニタリでもありエルミートでもある行列になります。

 
(先日は符号を真逆に表示してましたすみません)


さきほどのx成分の記事同様、これも特殊ユニタリSU(3)の生成子から作れるはずだと思いまして

ただし、今回は非対角成分の一部に純虚数を含んでいますので、
単純に、ゲルマン行列8種類のうちから、純虚数のσだけ選ぶことはできません。
σが純虚数だけでできているとき、生成子から生成される特殊ユニタリそのものは、実数になり、
σが実数だけでできているときの特殊ユニタリは複素数になります。

また、純虚数の配置から、x軸とz軸回転に相当する回転行列が複素数になりえるというアナロジーから、今回はσ1、、σ5、σ6を使い、任意軸回転行列のようなもの「改造版ロドリゲスの回転公式」を作ることにします。

 


つまり、これが改造版ロドリゲスの回転公式になります。
（ただし、右手系になるような符号の調整は後回しにします）

交代行列R=i(σ67*x+σ5*y+σ1*z)を
 
と定義すると(iは虚数単位)

この場合も、
exp(R)=M=E+R*sinθ+R^2*(1-cosθ)

となります。(Eは単位行列で、x,y,zは規格化条件x^2+y^2+z^2=1を満たすものとします)

指数関数expをテイラー展開するのですが
ここでも、R^3=-Rが成り立つと判明しているので、本家ロドリゲス同様の不格好な公式が導けます。


実装して比べてみますと
 
このようになります。三角関数の中身Θを省略して書いてしまいましたが、存在しています。
元々、Θ=(θx,θy,θz)という角運動量のようなベクトルだったのを、絶対値|Θ|=√(θx^2+θy^2+θz^2)と向き(x,y,z)=(θx,θy,θz)/Θに分けて書きなおしているのです。

ここで、対角成分だけを抜き出して比べてみましょう。
 
このような連立方程式になりますが、3つを全部足してみると、うまいことx,y,zが消えてくれて
cosθ=-1だということがわかります。(3本に見えて実は4本の連立方程式だったのです)
つまりθ=πです。


このθを上の3つの式に代入しなおしてやりますと、x,y,zがある程度求まりまして

x=±1/2,z=±1/2,y=±1/√2
と求まりますが、この複合は同順ではありません。

そこで、非対角成分、特に上三角(下三角でやっても意味同じです)の3本の式に入れることで確定してみます。

すると、x=±1/2,z=-(±1/2),y=±1/√2と、ようやく定まりました。
今度は複合同順です。

±がついていますが、どうせθ=πなので、符号はどちらか片方で構いません。


つまり3次元の回転行列に見立てると
-x=z=1/2,y=-1/√2,θ=πが、なぜか固有状態に相当するらしいです。


この結果に何の意味があるのかはわかりません。遊びですｗ

やっぱり
y軸だけなんとなく非対称な感じがしますね。
まずxz平面で固めてから((1/2)^2+(1/2)^2=1/2)、
xz-y平面にまとめた(1/2+(1/√2)^2=1の単位ベクトル(x,y,z))感じがします。