線形代数×けものフレンズ

特殊ユニタリかつエルミートな行列の固有値


アライ「フェネック！今日はこれの固有値を計算してみるのだ！」


フェネック「これはー？」

アライ「”りょうしりきがく”？に出てくる、5状態系の角運動量の固有状態なのだ！さっそくscilabにつっこんでっと・・・」

フェネック「アライさーん、急いじゃだめだってばー。この行列はなんだったかな？」

アライ「だから、固有状態なのだ！」

フェネック「固有状態ってことは、規格化されてるはずじゃないかー」

アライ「ってことは、これはユニタリなのか！？Aエルミート共役A'からAを引いたA'-Aは・・・ふぇええええ！？ゼロ行列になったのだ！」

フェネック「アライさーん、またやってしまったねえ。それはエルミート行列の定義だよー」

アライ「そうなのだ！ユニタリ行列の性質は、逆行列を引いたこっちだったのだ！A'-int(A)」

フェネック「どうだったー？」

アライ「すごいのだ！こっちもゼロ行列になったのだ！！ってことは、ユニタリかつエルミートということなのだ！」

フェネック「エルミートとユニタリは、数でいうところのどういう雰囲気だったかな？」

アライ「えっと・・・エルミートは実数で、ユニタリは・・・オイラーの公式なのだ！」

フェネック「そうそう、実際、エルミート行列の固有値が全部実数で、ユニタリ行列の固有値は全員、複素平面の単位円周上にいるよねー。ってことはー？」

アライ「エルミートかつユニタリな行列の固有値は・・・実数かつ”絶対値が1”だから・・・、プラス1とマイナス1しかありえないのだ！やっぱりフェネックはすごいのだ！」



フェネック「アライさーん、この行列の行列式(固有値の積)を計算してみてよー」

アライ「任せるのだ！この文字をscilabにつけてっとdet(A)　1になったのだ！abs(det(A))じゃなくても1になったのだ！すごいのだ！実は特殊ユニタリだったのか！？」

フェネック「そういうことになるねー。じゃあついでに、トレース(固有値の和)も計算してみてくれるー？」

アライ「簡単なのだ！対角要素の和だから、これも1なのだ！すごいのだ！いちざんまいなのだ！」

フェネック「ここから言えることは何かあるかな？」


？？？「待って！ここから導き出される結論は、全部お見通しよ！」

アライ「キリンさんなのだ！こんにちはなのだ。」

フェネック「こんにちはー」

キリン「こんにちはー。行列Aの固有値探しをしているのね。以上のことをまとめると

・Aは5次行列だから、固有値は5つある
・Aはエルミートだから、固有値は実数
・Aはユニタリでもあるから、固有値はプラス1かマイナス1で、5つ全部掛け算すると1になる
・Aのトレースは1だから、固有値を全部足すと1になる
・Aの行列式は1(特殊ユニタリ行列)
 
掛け算してプラス1になるということは、-1の固有値は偶数個
可能性としては1,-1,-1,-1,-1か1,1,1,1,1か、1,1,1,-1,-1がありえるけど
前者2つはトレース1にならないから却下。
つまり、固有値は、1,1,1,-1,-1ね！！！」

アライ「おいしいところをキリンに全部持っていかれたのだ～」

フェネック「アライさんなら手計算でいいとこ魅せられるよ～」

アライ「おおー！その手があったのだ！任せるのだ！

まず、Aの中身に4で割ってるのがあるから、Aを4倍して、λを固有値として、4λ倍した単位行列で引いて、行列式を求めるのだ。



2列目に2列目＋4列目を代入して



それから、2行目に2行目-4行目を代入したら、掃き出し法が楽になるのだ



4次の行列に次数が1つ減るから、

1列目に1列目+4列目を代入して

 
今度は、3列目に3列目に、(4λ)/(-i4)倍した4列目を足すのだ



また掃き出し法がしやすくなったから、次数を1つ減らして3次の行列になったのだ。

ここで、同類項でくくって行列式の外に放り出して、計算をしやすくするのだ。

それから、3行目に、3行目-1行目を代入して、掃き出し法を行うのだ。


2次の行列式まできたら、もう迷わないのだ！無敵の布陣なのだ！ちゃんと3重解と重解を出してやったのだ！」


フェネック「おおー！λの係数、マイナス4の5乗-1024がちゃんと出てるよ～すごいよアライさん！」

アライ「アライさんは、不滅なのだーーーー！そしてキリンさんも、すごい推理力なのだ！」

キリン「えっへん！アライさんも、器用だねー」