角運動量のx成分の固有状態は、どの方向に何度かな～？

3状態系の、角運動量の、x方向成分の固有状態3つを横に並べると、
このような、特殊直交でもあり実対称でもある行列になります。




それならば、 特殊ユニタリ行列SU(3)や特殊直交行列を、生成子から作れるように
この行列もまた、生成子から作れるはずだと思いまして。

3次の特殊直交行列SO(3)、つまり実数行列なので、ゲルマン行列8種類のうち、純虚数成分だけ含む3種類の生成子σ2,5,7だけを用います。




つまり、これはロドリゲスの回転公式そのものということです。
（ただし、右手系になるように符号を調整しています）

交代行列R=i(-σ7*x+σ5*y-σ2*z)を

と定義すると(iは虚数単位)

exp(R)=M=E+R*sinθ+R^2*(1-cosθ)

となります。(Eは単位行列で、x,y,zは規格化条件x^2+y^2+z^2=1を満たすものとします)

指数関数expをテイラー展開するのですが
R^3=-Rとなる性質を利用して、上記のようなちょっと不格好な公式が導けます。


実装して比べてみますと

このようになります。三角関数の中身Θを省略して書いてしまいましたが、存在しています。
元々、Θ=(θx,θy,θz)という角運動量のようなベクトルだったのを、絶対値|Θ|=√(θx^2+θy^2+θz^2)と向き(x,y,z)=(θx,θy,θz)/Θに分けて書きなおしているのです。

ここで、対角成分だけを抜き出して比べてみましょう。

このような連立方程式になりますが、3つを全部足してみると、うまいことx,y,zが消えてくれて
cosθ=-1だということがわかります。(3本に見えて実は4本の連立方程式だったのです)
つまりθ=πです。


このθを上の3つの式に代入しなおしてやりますと、x,y,zがある程度求まりまして

x=±1/2,z=±1/2,y=±1/√2
と求まりますが、この複合は同順ではありません。

そこで、非対角成分、特に上三角(下三角でやっても意味同じです)の3本の式に入れることで確定してみます。

すると、x=-(±1/2),z=±1/2,y=±1/√2と、ようやく定まりました。
今度は複合同順です。

±がついていますが、どうせθ=πなので、符号はどちらか片方で構いません。


つまり3次元の回転行列に見立てると
-x=z=1/2,y=1/√2,θ=πが、なぜか固有状態に相当するらしいです。


この結果に何の意味があるのかはわかりません。遊びですｗ

y軸だけなんとなく非対称な感じがしますね。
まずxz平面で固めてから((1/2)^2+(1/2)^2=1/2)、
xz-y平面にまとめた(1/2+(1/√2)^2=1の単位ベクトル(x,y,z))感じがします。