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20080511~ 13と7と11の倍数の論理積は13と7と11の積の倍数である。 和ァ・・・
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昨日のブログでは割と定性的な話しかしなかったから、今日はもう少し定量的な話をしようと思う

極座標における経度方向φの波動関数Φ(φ)=U6だけども


B2>0だと指数関数
B2<0だと三角関数になる

しかし、経度0度と360度で連続でなければならないので、指数関数ではありえないことがわかる。
Φ(0)=1≠exp(±2πm)=Φ(2π)
Φ'(0)=1≠±mexp(±2πm)=Φ'(2π)

よって、B2は必ずB2<0を満たす


三角関数だと
Φ(φ)=exp(±imφ)になるので

Φ(0)=1=exp(±2πmi)=Φ(2π)
Φ'(0)=1=±imexp(±2πmi)=Φ'(2π)
が境界条件なので、mが整数という条件を満たさなければならないが、

よく計算してみると、この微分方程式だけでは、mの2乗の上限、つまりmの範囲を決めることができないことがわかった。
たぶん、緯度方向のΘ(θ)、動径方向のR(r)まで話がさかのぼるんだと思う。

===========
次に、規格化定数について調べてみると

僕はてっきりΦという関数を実数化するものと思っていたのだけど
どうもそうではないらしい。

というのも、

Φ(φ)=exp(±imφ)の線形結合として
Φ(φ)=Aexp(imφ)+Bexp(-imφ)=Acos(mφ)+Bsin(mφ)=Acos(mφ+B)

(各々の規格化定数AとBは同じものとは限らない)

として、絶対値の2乗を0から2πまで積分すると


こうなってしまい、位相の定数Bはいいとして
AがA=1/√(π)
になってしまう。A=1/√(2π)というwikiと合わない。(水素原子の波動関数なんて伝統の由緒正しいwikiなんだから、ここが誤植ってことはないと思うんだ)


そこでwikiとにらめっこしたところ、m=+1とm=-1が別々に書いてある。

そういえば昔どこかで聞いた、「水素原子の波動関数は縮退している」という言葉と
「束縛されていない粒子の波動関数は複素数のまま」という言葉を思い出した

この「縮退」「束縛状態」「複素数」というのはもしかして、つながっている1つの現象なのではないか!?


と思い、Φ=exp(±imφ)を素直に絶対値の2乗を取って積分してみるとあら不思議


ちゃんとwikiどおりAがA=1/√(2π)

になったじゃん!

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時間に依存する水素原子様の電子殻の波動関数
極座標のラプラシアンで表すとまずこうなって



時間と空間の変数分離のために波動関数Ψで両辺割り算するとこう


変数分離をするとこう

まずは時間と空間の微分方程式が分離できて


さらに動径方向と2種類の角度θ、φに分けるとこう

(最初とここのrの意味合いが異なるのでごめんなさい、最初らへんのrは3次元空間ベクトルとしてのrで、ここでのrは動径方向のスカラーとしてのrです)



さらに、2種類の角度θ(緯度)とφ(経度)について分離して

緯度θに関する微分方程式はこうなんだけど

それはおいといて


経度に関する微分方程式は、めっちゃ初歩の微分方程式でコレ


いわゆるひとつの定数係数の同次2階微分方程式

ただし、B2が正か負かで振る舞いが全然違ってくる。

波動関数U6が指数関数になるか三角関数になるかくらい違う。

指数関数だとたぶん発散するから成立しない。
exp(imφ)みたいな形になるはず
おそらくこの制限が、磁気量子数mが「いくつまで」ってやつだと思う。

あとはmが離散値を取る話だけど、これはたぶん境界値問題かな。
ぐるっと360度回って連続じゃなきゃならないから、そこで離散の制限を受けるんだと思う

それで、このwikipediaのΦ(φ)だけど、複素数になってるのはたぶん微分方程式として計算しやすいからだよね。
振り子の問題の変数が時間tじゃなくて角度φになっただけの話だから
角度φにしても距離xにしても、時間みたいに初期値(0F微分)と初速度(1F微分)の初期値問題じゃなくて
0階微分同士の境界値問題になるんだけどね

振り子の微分方程式を解く際に

Aexp(iωt)+Bexp(-iωt)

Acoswt+Bsinwt→Acos(wt+d) (量子を人間が観測する際は位相は割りとどうでもいい)

ってしたやつ
あのexp(i)のやつが複素数だから、解を実数にするようにAとBが都合のいい複素数(複素共役)になってくれるやつね

たぶんそれだ


これで経度方向の波動関数の規格化は理解できたとして
あとは緯度方向の波動関数の規格化をどうやってんのか探らなきゃいかん。

動径方向がラゲールで、緯度方向がルジャンドルの陪関数だっけね
自作で数値計算したいんだよね~


ルジャンドルの関数(多項式)が、まるで水素原子を一旦球面の極座標にしたあと
高さzに関する円筒座標の関数P(z)に戻してるってのが個人的に興味深い

緯度のルジャンドルに関して-1から1まで、経度に関しては0から2πまで積分して規格化をするらしい
緯度は高さzだと-1から1だけど、θで言えば-π/2から+π/2ね
あれ?基準どこだっけ?
昼間地球儀のこと考えてたから0度を赤道に考えてたけど
量子力学の流儀だと確か、真上(原子の北極)が0度じゃなかったっけ?いや南極か?

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デジモンの話になると、無印と02のこと以外ではだんまりになってしまうワイ
テイマーズもフロンティアも見ていた、あるいはあとから見たのにあんまり語ろうとしないマン
セイバーズはうっかり全然見てなかったが、マサルダイモンの話だけなら知ってる

テレ朝系に移ってからも、ちょいちょい見たりはしてたんだけど、あまり記憶にない。


あー、もしかしてこれが、初代しか認めないガノタとかいうめんどくさいアレか!
(類義語:昭和ライダーしか認めない特撮オタク、ジャーはだめでレンジャーじゃないとダメなオタクなどなど)

シリーズもの追いかけるの苦手苦手ってできる限り避けてた俺も、アラフォーにもなると嫌でも経験がついて、初代エコヒイキのめんどくさいオタク成分が抽出されたりするんやねえ!

としみじみ思うなどした

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先月の通院くらいのころにはっと思いついたやつ

パウリ行列同士の積あるいは(反)交換関係がクォータニオンの基底同士の積みたいになるんだったら
ゲルマン行列でできねえ道理はねえじゃねえか

っつって
e1=-iσ1
e2=-iσ2
e3=-iσ3
e4=-iσ4
e5=-iσ5
e6=-iσ6
e7=-iσ7
e8=-iσ8

[en,em]
とか
{en,em}

とかって綺麗な形に…ならねええええええ!

あのクソ忌々しい構造定数にたどり着いたぞ!!!!!ちくしょおおおおおお!

綺麗なのは実数ってことだけじゃねえか!!!

でもこれはこれで添え字3つだし、レヴィチビタ記号のときはグリッド3つだけだったから
グリッド8つの3次元配列とかやってみてもいいかもな…


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来週木曜のひまつぶしはそうだな…その翌週からけもフレ3がくるから割と一発屋でいいんだよな。1時間しのげればそれでいい。

何かしらのコミック1冊新巻を電子書籍で買うか、それとも大学図書館か普通の図書館で本を1冊借りるか、どちらかにしよう。


何か読み終えてない電子書籍の消化に当ててもいいな。


あ、そうだ。一発屋といえば、広告で気になったゲームアプリを1つ入手して、飽きるようだったらポイーでもそれでもいいな



再来週から僕の脳に常駐するゲームがまた2つに増えるわけだけど、さあて、どう生活が変わる(堕落する)か楽しみだ

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前回のあらすじ

状態が3つある角運動量の代数(行列力学?)の上昇演算子?についてる√2のルーツを探りました。


===========

今回は状態を5つにしてみます。つまり、5行5列の行列が計算対象になります。

上昇演算子?は以下のように

下降演算子?も以下のように定義されます。


A,Bはあとで定まる未定の定数です。


L+=Lx+iLy
L-=Lx-iLy
の式から、LxとLyを求めると、以下のようになるので

[Lx,Ly]=iLzからLzを求めます。

LxLyとLyLxはそれぞれ

このようになりますが、あとで引き算すると、非対角成分はどうせゼロになるので、計算は省きます。

この対角成分が固有値、つまり2,1,0,-1,-2になってほしいので、そうなるようにAとBを定めます。
A^2=2*2=4
-A^2+B^2=2*1=2

A=±2なので
-4+B^2=2
B^2=2+4=6
B=±√6
と定まりました。

つまり、

が本当の姿だったのだ!


これの便利なところは、同じ種類に属するLx,Ly,Lzは固有値が共通ということです。
つまり、Lzで固有値が0,±1、±2とわかっているので、
LxとLyの固有値も、0、±1、±2と、わざわざ5次の行列式を展開して、
5次方程式を解かなくてもわかってしまうのです。
なんなら5次方程式も、λ(λ^2-1)(λ^2-4)=0と、因数分解した状態で逆算できてしまうので
展開してやれば方程式が算出できます。


Lxの固有値方程式にいきなり固有値をぶち込んでExcelに計算させたのがこちら
(あ、λの符号が…アッ…アッ…マアイイヤ!)

同様にLyもExcelで計算可能です。
ただ行列の中身に虚数単位を掛け算してるだけなんで、それを抜かせば実数行列として計算できますよ

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前回までのあらすじ

状態が3つある行列力学?で、角運動量の上昇演算子?L+と下降演算子?L-を定義しました。





==========
さて、この2つの演算子から、角運動量のx成分Lxとy成分Lyが求められるらしいです。
どういう原理なのか今なお僕自身理解できてないのですが、なんか計算できるらしいです。


という式があるらしいので、exp(±)からsinとcosを導出するノリで式変形するとLxとLyは以下のようになります。

本当は初めから係数をつけるべきだったのですが、ここからいきなり係数Aを付けさせてもらいました。


それから、角運動量Lのz成分であるLzとは、このような関係があります。
[Lx,Ly]=iLz

これは、x,y,zをy,z,xやz,x,yに置き換えても言えるので
[Ly,Lz]=iLx
[Lz,Lx]=iLy

となります。

ただ、x,y,zの順番で成立するのであって、逆回りつまりx,z,yやz,y,x、y,x,zでは符号が逆になって
[Lx,Lz]=-iLy
[Ly,Ly]=-iLx
[Ly,Lx]=-iLz

となります。詳しくは、レビチビタ記号を参照ください。

また、[,]は交換関係と呼び、たとえばAとBという行列であれば
[A,B]=AB-BA
と定義されます。

普通の数では交換法則があるので一般に交換関係はゼロに保たれるのですが
行列の積あるいは微分演算子が絡む場合などでは交換関係は一般に成立しません。

特に、AとBが物理量の場合、量子力学において交換関係がゼロでない際は不確定性原理が効いてきて、物理量A,B両方の精度を一定以上上げることが原理的にできなくなります。
(※将来的に、小澤の不等式も絡んでくる可能性は低くないと思います)


話を元に戻して、LxとLyの交換関係を実際に計算してみますと



実は
Lzというのは量子化された数で対角化されるはずなので
A^2/2=1であるべきで、A=√2であることが求められます。


つまり

が本当の姿だったのだ!

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なんか2年ぶりくらいになるような気がするこの計算。
前回もろくに途中経過書けてなかった気がするので、一旦初心に戻ったつもりで
この知識が当たり前になる前に書き上げたい。

色々デジャヴると思いますが堪忍な。

まず、そうですね、放送大学で初めて、具体的な行列力学っぽい計算例を見た気がするんですけどね


最初は状態が3つある角運動量の話だったかと思います。

こんな感じの列ベクトルで、この3つの数字の枠どれか1つに1があるんですが、

ある状態の角運動量を1つ分だけ持ちあげる角運動量演算子をL+と書き

一番下の底辺だったら真ん中に、

真ん中にいたら一番上に、

一番上にいたら空の状態にする(この空の状態は存在しない)

このような演算子をL+と定義します。


カッコの中、1列に数字が並んだものを列ベクトル
行と列に渡って2次元に配列されているものを行列と呼び、
(1行のものを行ベクトルまたは単にベクトルと呼びます)
ベクトルや行列は掛け算ができます。詳しくは行列の積を参照してもらうとわかりますが、
行列同士の積は一般に交換法則が効かず、列・行ベクトルと行列との積は、場合によっては定義できないこともあります

演算子は、状態の左から掛け算することが多いです。


ここで、3つの状態を横に並べてみると、単位行列Eになることが分かります。


単位行列Eにある行列Aを掛け算すると、左から右から掛け算どちらでも、結果がAそのものになるので


一番上以外、1つずつ上に状態を上げる演算子をL+と考えれば、

L+は、変化させたい行列そのものであると考えることができ、導出が簡単です。



それでは、状態を1つずつ下げる演算子L-を考えてみてください。

コレの、1を1つずつ下げて、一番下の行(一番右の列)はすべてゼロにする演算子です。



そうですね、この感じで「ゆっくり説明するブログ」の方針で行ってみましょうか。
最近はあまり体力がなく、ご飯を食べるとすぐ眠くなってしまうので、あまり記事に力を入れられそうにないので、一度に膨大な量書くのは避けようと思います。


係数の話はおいおい。

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まだアニメ化される前にちらちら視界に入っていたころ
「こいつらいつまで遭難してんだ?」

と思っていた。あまりよく知らなかった。


アニメ化すると聞いて、
「あ!もしかしてこれ実はコナン方式じゃね!?」
と思った。つまり
「父子ともに遭難体質が故によく遭難し、脈々とサバイバル知識を現地調達した主人公は1人だけ」

「残り3人はそれぞれ別世界線で主人公に巻き込まれる生贄」

なのでは?

という説。


コナンで時々見かける「実は1年しかたっていなかった」というのも、別世界線説を用いれば辻褄は合う。
「人生でもっとも長く、もっとも大切な3週間の世界線漂流」というアレだ。



しかしながら、よく考えてみると、遭難というのは長く遭難してこそ遭難であり
だんだん体力がえぐられ、メンタルも削られて行ってからが遭難ビジネスの本領発揮であり
別世界線説もアニメの観測結果と著しく異なるため、却下された。



最近、一般人に知識を付けさせてオタク化させるいわゆる「知育アニメ」が増えて
局の垣根を超えて日本のアニメの半分が教育テレビor放送大学になりかけているようだが

遭難をビジネス化させるにはどうしたらいいか考えていたところ、
ゾンビビジネスと相性がいいことが分かってきた。

遭難→生物としての死→ゾンビ化→ゾンビとしての死→生存

この一連のサイクルを取ると仮定すると、異世界転生ではなく同相世界転生モノということになる
あの世とこの世はまったくの同じものであった。
よくいうデジタルワールドとかコンピュータワールド、フーリエ変換やラプラス変換のようなものである

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今日の散歩中に思いついた妄想を思い出したのでメモ。


「人の記憶こそが時間なんだ」的な理屈を拡張すると

たとえば、国単位の人数で認識違いを起こすと、集団幻覚が現実になりはしないかという実験

ロボティクスノーツとシュタインズゲートの合わせ技のようなものなんだけど

人の脳が直接作り上げられるARを、実は国がのっとっていて
1億人規模くらいで、少なくとも日本国内では無矛盾な過去をねつ造する

そうすると、外国人にとっては人工的なリーディングシュタイナーが発動したように見えないだろうか

それも、「あの国とその国民の言動おかしい」という形で、実験している日本以外の外人全員から白い目で見られるが、自覚がない。



==========
脆弱すぎる人類がなぜここまでしぶとく繁栄しているのか。

原子が存在できないくらいの短時間で、古典的には知的生命は繁栄できないのではないか。

それを可能にしているのは、もしかしたら並列世界なのかもしれないとかいう妄想。

たとえばヒヤリハットだけど、ヒヤっとしたということは、そのヒヤッが実現して死んでしまった世界線が存在するからそう思えるとか
そういう自由度を並列世界から得ないと、生物は生物として活動できず、無機物的なふるまいしかできないのではないかというもの。



==========
ここまでは昨日までの妄想。


ここからが今日の妄想で、それを人類や宇宙人に拡張してみる。


宇宙人とのコンタクトが成立しない理由

そもそも、太陽系がずいぶん個性的で、なおかつご都合主義のように思えはしないだろうか。



もしさっきの、「過去をねつ造する国を外部から見る」というのを、そのまま
「過去をねつ造する生命にあふれた惑星を外部から見る」

に置き換えてみると何が起きるだろう

規模がもはや「おかしな挙動をする人たち」レベルではなく
「生き物の挙動に見えない」とかにならないだろうか


だとすると、実はそこら中にいる宇宙人に、本質的にコンタクトできないのもうなづけそうなきがする
しらんけど

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3d軌道の一部がトーラスになっていることを解析的に確かめる?


たぶんここの、d3z^2-r^2ってやつだな
3d軌道の「3かどうか」は関係ないのか。「dであること」だけ気にすればいいわけね

1s、2p、3dとかの、数字部分が主量子数nでエネルギー、アルファベット部分が縮退されてるやつ電子雲の形を表していると考えてよさそう、かな


n,l,m,sって4つの量子数があるうち、スピンsは除くとして
n以外縮退して機能してないのを「2重」って呼べばいいのか、「3重」って呼べばいいのか。
3つが1つになってんだからええと…わからん

次元と縮退の関係もわからんし、なんでwikiで「水素原子とかの縮退」と「中性子星の縮退圧」が水先案内されてんのかも全然わからん


量子数が増えるから次元を高く考えるのか??だとしたら学ぶ突破口が開けそうな気がしないでもない
なんで11次元とか26次元とかやってんのかさっぱりだもんな

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備蓄はとりあえず使い切るスタイル


小ネタしかないので今日のブログはブツブツしています



係数を無視して、球面調和関数の
Y=sinθcosφ

Y=sinθsinφ

先日はpzをやったので、今回どちらがpxでどちらがpyなのか。


球面座標系の定義から見ていきましょう。
pzはz方向にタマタマが2つあったので、pyはy方向、pxはx方向にタマタマが2つ並んでいると予想できます。
ですので、φ=0で|Y|=1になるほうがpxで、もう一方がpyなのだと仮定し、計算を進めていきましょう。


Y=sinθcosφがpxだとすると、これを

x=|Y|sinθcosφ
y=|Y|sinθsinφ
z=|Y|cosθ

に代入して


x=|sinθcosφ|sinθcosφ
y=|sinθcosφ|sinθsinφ
z=|sinθcosφ|cosθ


sinθcosφ>0のとき
(x-0.5)^2+y^2+z^2=0.5^2

sinθcosφ<0のとき
(-x+0.5)^2+y^2+z^2=0.5^2


となることを証明すればよい

どちらにしても


(x-0.5)^2+y^2+z^2=0.5^2
こうなるので、x,y,zを代入すると

(|sinθcosφ|sinθcosφ-0.5)^2+(|sinθcosφ|sinθsinφ)^2+(|sinθcosφ|cosθ)^2=0.5^2

(sinθcosφsinθcosφ-0.5)^2+(sinθcosφsinθsinφ)^2+(sinθcosφcosθ)^2=0.5^2

 
sinθcosφの2乗でまとめると
 
さらにカッコの中をsinθの2乗でまとめると
 
おわり


===========
はい次py

Y=sinθsinφがpyだとすると、これを

x=|Y|sinθcosφ
y=|Y|sinθsinφ
z=|Y|cosθ

に代入して


x=|sinθsinφ|sinθcosφ
y=|sinθsinφ|sinθsinφ
z=|sinθsinφ|cosθ


sinθsinφ>0のとき
x^2+(y-0.5)^2+z^2=0.5^2

sinθsinφ<0のとき
x^2+(-y+0.5)^2+z^2=0.5^2


となることを証明すればよい

どちらにしても


x^2+(y-0.5)^2+z^2=0.5^2
こうなるので、x,y,zを代入すると

x^2+(y-0.5)^2+z^2=0.5^2

(|sinθsinφ|sinθcosφ)^2+(|sinθsinφ|sinθsinφ-0.5)^2+(|sinθsinφ|cosθ)^2=0.5^2

(sinθsinφsinθcosφ)^2+(sinθsinφsinθsinφ-0.5)^2+(sinθsinφcosθ)^2=0.5^2



sinθsinφの2乗でまとめると



さらにカッコの中をsinθの2乗でまとめると


おわり

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「「入れ替わってるーーーー!?」」


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HN:
量子きのこ
年齢:
39
性別:
男性
誕生日:
1981/04/04
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WinDOS.N臣T
趣味:
妄想・計算・測定・アニメ
自己紹介:
日記タイトルの頭についてるアルファベットは日記の番号です
26進数を右から読みます
例:H→7番目、XP→15(P)×26+23(X)=413番目。
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