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20080511~ 13と7と11の倍数の論理積は13と7と11の積の倍数である。 和ァ・・・
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有限深さの井戸型ポテンシャルでの、変位xの2乗の期待値を求めようとして、つまずきかけたのね


こういう式が出てくるじゃないですかー(しらんがな)

ここのb→∞の極限を取るところであっさりつまずきやがりまして、ウルフラム先生にご登場願ってしまったわけですけども

どうもロピタル使えばいけるっぽいことを知ってしまって
でもロピタルの発動条件ってどんなんだっけ?って、ねえ?



心から数学してねーな俺って感じでごめんねごめんねー>人<

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ハァイ、ジョージィー┗( ͡° ͜ʖ ͡° )┓.(福山○治がドナルドの顔で台風の中アニソンを歌う)


量子ゆらぎ荘ができたころはですね、こうやって井戸を掘っていたんですよ
ところどころ温泉<波動関数>が湧き出るんで、ダウジング<固有条件>を始めたんです
そしたら個性的な客が次々と住み着き始めましてね、
だいたいが霊か霊能力者関連なんで、壁や紙面にしみ込んだりするんですわ。乳首が。




========
井戸型ポテンシャルの深さを有限から無限に近づける様子をgif化してみました。
無限にはとうていできないので、高々無数程度の深さなんですけどね

井戸に入れる固有状態が増えていき、
エネルギー固有値の値も少しずつ上がっていくのがわかるかと思います。


これを、基底状態だけに着目したのが、下の図です

何を見ていただきたかったかというと、
深さを増していくにつれ、波動関数の染み出しが減っている点です。
深さ無限大では、この染み出しはゼロとなり、波動関数は井戸端で不連続になります。


この関数、基底状態はガウス分布の関数にも似ていますが、異なるものです。
一体どうやって描くんじゃい!って学生当時は思ったものですが
これがやってみると実は初等関数だけで書けちゃうんですね。

調和振動子ポテンシャルの場合と違って
井戸型ポテンシャルは勾配が無限大なので、別々の関数を連続的につなげることで、波動関数を描くことができます。
それも、三角関数と指数関数しか用いていないのです。


この、三角関数と指数関数のつなぎ目を連続に(関数そのものと傾き)することこそが
固有値を不連続たらしめていて、どのエネルギーでも連続になるとは限らないのです


今回はすべて、解析的な計算を行いました。固有値の算出だけではなく
波動関数そのものを算出する行程まですべて、解析的に計算できました。

以前、数値計算で井戸型ポテンシャルでの波動関数を算出してから
これにたどり着くまでにずいぶん時間がかかってしまいました。
特に頓挫して困っていたわけではなく、単に満足していただけです。

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仕様上、アニメの方がゲームよりタイムリープする回数が若干多いが

これが無限だったら、ゲームよりアニメの方がタイムリープする回数が多くても、熱くならないだろう

なんせ、有限回増えたところで無限の濃度は変わらないのだ。

無数ではあるが無限ではないからこそ、オカリンのタイムリープにシュタゲらしさを覚えて、萌えるのである。
たとえそれが、ヌル(無印)であってもゼロ(続編)であってもだ。

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先日の日記の続きで、井戸型ポテンシャルの外の波動関数についてです。


有限深さの井戸型ポテンシャルにおける波動関数を
無限深に極限を取ることで、無限深さ井戸型ポテンシャルの波動関数および有限深さ井戸型ポテンシャルの波動関数がちゃんとつながってて、妥当性があるのかを検証してみる試みその2です。



今回も、全て解析解です。
距離xが-aからaまでの間にポテンシャルUがU=0で
井戸の外だとU=U0というところから始めました。
波動関数Ψは井戸の内側では、Ψ=Acos(kx)かΨ=Asin(kx)で
井戸の外側では、Ψ=Bexp(-k1|x|)でしたね。

ここで、Bは、下の図のようになります。
±がついていますが、Ψ=Acos(kx)だったら+で Ψ=Asin(kx)だったら-になります。
また、kにディラック定数を掛け算して2乗したものは2mEで
k1にディラック定数を掛け算して2乗したものは2m(U0-E)になります。
(U0>Eが条件です)

mは粒子の質量、Eは粒子のエネルギー、kは波数なので波長λを用いると k=2π/λとなります。
k1は波数に似たパラメータです。



分子にexp(k1a)が掛け算されているので、B自体は場合によってはものすごく大きな値になります。k1を大きくすると、もちろん際限なく大きくなります。


しかし、波動関数全体で見てみますと
井戸の外なので、Ψ=Bexp(-k1|x|)なので、以下のように書きなおせまして


この、|x|とaの大小関係に注意しますと、井戸の外側では常に|x|>aが成り立っているので
井戸の外のポテンシャルに相当するk1をいくら上げようが、波動関数Ψの分子はゼロに収束し
分母も√a(井戸の幅の半分)に収束するので
Ψ自体もゼロに収束するのがわかるかと思います。




いやほんともう、これがやりたかっただけなのよ・・・なんで13日から31日まではばきかせちゃってるんでしょうかねえ・・・

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部屋の掃除がしたくないので、部屋の掃除をしてから何日経過したかをExcelに記帳してます。

90日を超えたようです。
なんでかというとハウスダストアレルギーだからです。


逆ではありません。

掃除や片づけをするたびに目や鼻や喉を痛めていてはもったいないと思うのです。


ところで、数年前から我が部屋に空気清浄機くんが居座るようになりました。
ここ数日では、自分自身と空気清浄機くんとで、ハーモニーを奏でています。

ぼく「あ、喉がちょっと痛いね」
空気清浄機くん「ハウスダストあるやで」
ぼく「私の感覚は間違っていなかったーーーー!!!!


これができるようになりました。
さながら空気中のチリによる光の散乱をお互いの補正する2台の電波望遠鏡のようです。


さて、ここで疑問が生じます。
この空気清浄機くんはアレルギーに悩まされているのでしょうか?

これは、機械がどこまで行ったら感情を持ち
あるいは生物がどこの段階まで感情を持っていないのかという疑もry

空気清浄機くんはアレルギーを持っているわけではありませんよね
じゃあどうして僕は、これを能力としてではなく病気として保有しているのでしょうか!?(千葉ロッテ)


僕のアレルギーも、頭の後ろにしまっている○のついた尻尾がピョーンって立ち上がるような白血球みたいなやつだったらよかったんだけどなー
白血球も逆に、レセプター反応がアレルギー症状みたい(マトリョーシカ)だったら嫌でしょ

おわり

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最近、椅子というジャングルを捨てた、人類になりかけの量子きのこですこんばんは。


スマホを持ち始め、ガラケーが壊れてから、スマホ依存が激しくなり
というかスマホ以外の端末に目もくれなくなってしまい

kindleもvitaもPCからも遠ざかっています。

すべてスマホでカバーできるならそれはそれでいいのでしょうが
厄介なのがスマホと忍者ブログとの相性でして、うまいこと打ち込めないのです。


(まあ、PCじゃなきゃできないことはまだまだ山ほどあると思います特にクリエイティブな部分)


元々、数年前から椅子に長時間座っていると腰痛が起きる体質になっていて
スマホだとほかのところが色々とおかしくなるのかもしれませんがとりあえず腰は痛くならないので
椅子から遠ざかってしまったのです。


しかしPCには「数式が正確に編集できる」というバリ強い特徴があるので
紙媒体でテキトーに思いついたアイデアをちゃんと形にするには
おそらくスマホでもイマイチ信用ならない

もしこれが、忍者ブログの容量がテキストサイズしか残らなくなって
ほぼ卒業~!
ってなってスマホに適した現代的なブログのフォームが手に入ったら
ついでにExcelとかそういうアプリをスマホに入れてみようかなー
みたいな気分になるのかもしれませんが
いまのところそういう流れにはなっていません。

けものフレンズ絡みのゲームを2種類やるのがやっとです。
しかも、はじめてのスマホだったため、メモリの容量をケチってしまい
結構カツカツでやっております。


あと数年我慢しよう。



=========
先日計算してから何日経ちましたか
確か直近だと有限深さ井戸型ポテンシャルの解析解を求める途中でしたね

あの続きをね、書こうと思うんだけども
次に書く内容が「おまけ」みたいな軽い内容なもんだから
書く気がしないのね。

それで、その「軽い内容」すらここ数日書けてないから、ますます自己嫌悪のループに陥ってまして
こういうとき、僕の中に筋肉で乳首を動かせる巨乳のマッドサイエンティストがいたら
「特に意味なんかないんだ!」
って聞いたこともない声でまっちょしぃしてくれると思うんですよね



結局、ブログを「書くの」を続けるのも「書かないの」を続けるのも
僕にとっては惰性なんすわ。惰性の法則なんすわ。

また戻りたいのになんで最近は途中で途切れるのかなー

年齢のせいにはしたくないんだけどなあ

ツイッターに書いてる内容で満足してるわけないんだよ。
あんな140文字ぽっちで。

画像だって加工したいのに、そのツールは大概PCのほうにしか用意してないし


中毒になるくらいスマホいじってるくせに、スマホのいいところを全然引き出せてない
あー、さっさと忍者ブログ満杯にして次のステージにアセンションしてえなあ




=======
アセンションといえば、ExcelでMMDごっこをやるのはいいけど
ちゃんとした3Dツールにはいつ手を出すんだよ
MMDだって最初のほうで飽きてるし、ほかの3Dツールとはいかないまでも
レンダリングがんばってみるとかいうのはどこいったんだよ
僕の性格的に楽しめるだろうに


VTuberは・・・到底無理そうな気がする
というか、限界を定めてる場合じゃなくて
まずはMMDもうちょっと進捗しようや自分
何をどう向上したいのか自分自身よくわからない

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先日の日記の続きで、井戸型ポテンシャル内の波動関数についてです。

有限深さの井戸型ポテンシャルにおける波動関数を
無限深に極限を取ることで、無限深さ井戸型ポテンシャルの波動関数および有限深さ井戸型ポテンシャルの波動関数がちゃんとつながってて、妥当性があるのかを検証してみる試みです。



あ、もちろん今回は、全て解析解です。
距離xが-aからaまでの間にポテンシャルUがU=0で
井戸の外だとU=U0というところから始めました。
波動関数Ψは井戸の内側では、Ψ=Acos(kx)かΨ=Asin(kx)で
井戸の外側では、Ψ=Bexp(-k1|x|)でしたね。

ここで、Bは、下の図のようになります。
±がついていますが、Ψ=Acos(kx)だったら+で
Ψ=Asin(kx)だったら-になります。

また、kにディラック定数を掛け算して2乗したものは2mEで
k1にディラック定数を掛け算して2乗したものは2m(U0-E)になります。
(U0>Eが条件です)

mは粒子の質量、Eは粒子のエネルギー、kは波数なので波長λを用いると
k=2π/λとなります。
k1は波数に似たパラメータです。


このBの式にあるmU0をkやk1で表して物理量の次元などを整理した後
分母分子をk1で割るなどすると、上の図の最後の式になります。

さて、井戸の中身の波動関数の係数Aはどういった定義だったでしょうか

上図のように、Bを使って表すことができます。またしても整理して、分母分子をk1で割ると
図の一番下のような式になります。

ここで、U0を無限大に極限を取ってみましょう。
k1も同様に無限大になるはずなので、
分母のルートの中にある第1項目はゼロになることがわかるかと思います。

さて残りのa±sin(2ka)/(2k)ですが

このうちのsin(2ka)は固有条件からゼロになります。

固有条件は
対称のcosの場合はk1=ktan(ka)でした。
変形するとcot(ka)=k/k1となりますが、k1→∞なので
cot(ka)=0になります。
つまりtan(ka)=∞なので、nを奇数として、ka=nπが成り立ちます。

一方、反対称の場合の条件は、k1=kcot(ka)でしたので、変形すると
tan(ka)=k/k1→0となります。
つまりnを偶数としてka=nπが成り立ちます。


しかしながら、Aの係数の中のsinは中身が2kaなので、
nが偶数だろうが奇数だろうが、sin(2πn)なので、sin(2πn)=0です。


ということは、対称でも反対称でも、無限大の極限を取ったU0では、以下の式が成り立つというわけです。(もちろんすべての量子数で)





ためしに、最初から無限深さの井戸型ポテンシャルを解くと
0から2aまでのポテンシャルUがU=0で、それ以外の領域ではU=∞とすると
同様にΨ=Asin(nπx/(2a))となって、規格化すると
A=1/√aとなります。

また、幅が2aではなくその半分のaしかない井戸型ポテンシャルの場合は
Ψ=Asin(nπx/a)
となり、規格化定数Aは
A=√(2/a)
となります。

つまり、「井戸の幅の半分」という量が規格化のカギになってくるわけです。
これで、有限深さ井戸型ポテンシャル内の波動関数の妥当性が、ある程度確かめられたかと思います。


今回は、規格化定数AとBがあるうちの、井戸の内側であるAについてのみ確かめさせてもらいました。

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さっき計算したやつをまとめたくてウズウズしてるんだけど、時間がないし、
ブログのネタも尽きてるので備忘録いきまーす!


この前からやってる井戸型ポテンシャルのやつでーす
深さを有限から無限にもってくる作業っす







深さを無限にすると、規格化された係数が、井戸の幅の半分の逆数のルートになります
どの量子数でもです。

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てっちゃん「30年後に技術が一回りして、俺の子孫がVTuberに受け継がれるなんて、嬉しいじゃねえか」

3Dサングラス「せやろか」

萌唯恵「世代交代して、ある程度忘れられたから、受け継がれたんじゃね?」

てっちゃん「まじかー」

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昔、こういうの↓


作ったことがあったんです。行列式って落ちゲーに似てるよねって思って。
そのネタ元が有限深井戸型ポテンシャルの波動関数だったんですが
結局それ以来僕は、固有条件(エネルギー固有値)は求めても、「波動関数自体」を「解析的に」解くことまではできなかったみたいで

「波動関数の求め方は数値計算で済ませていた」ことが、昨日ようやくはっきりしたんです。
記憶にはない、ブログにも残ってない、やり方もわからないまま。


小形正男さんの「量子力学」って本を借りて、パラパラ~ってめくったら
左右対称あるいは反対称だから、4行4列じゃなくて2行2列でできるんだよ~
って書かれてたのがきっかけで読んでみると
実は「解析的な波動関数そのものの導出をまだやったことがない」ことが判明したんですよ。

※ここ肝試しに出ますので要チェックです




まず、xが-aからaまでU=0で、その外側が有限値U=U0のポテンシャルUを用意します。

1次元の時間発展しないシュレディンガー方程式はこうでしたね。


井戸の中は


こうで、井戸の外は



こうですね。(U0>Eの場合)

kとk1を以下のように定義すると



井戸の中の波動関数Ψ2と、井戸の外のΨ3はそれぞれ

このように書けますが、

井戸の中の波動関数は、左右対称だったらcosですし、反対称だったらsinなので

これのどちらか(XOR)になりますし
井戸の外の波動関数は、無限遠で収束してもらわないと困るので、
B1かB2どちらか(XOR)がゼロなので

こう書けます。

おかわりいただけるでしょうか・・・?
xに絶対値がついていることを・・・

これで、x>aのはずのΨ3が、x<-aのはずのΨ1のおかわりをしているのです・・・!
いるはずのない永久欠番Ψ1<クリ|スティ|ーナ>が、ジャパリバスターズのトランクにこっそり紛れ込んでいたのです・・・!!!


そうすると、残りは簡単で

Ψ2(a)=Ψ3(a)

Ψ2'(a)=Ψ3'(a)

たったの2元連立方程式解けなくすればいいだけなので

対称の偶関数の場合はコレ↓


反対称の奇関数の場合はコレ↓

の行列式がゼロになるのが固有条件です。
4次の行列式なんか解かなくてよかったんですよくそぅ・・・!
対称と反対称では、cosとsinが入れ替わり、微分した際に符号が変わったり変わらなかったりするので、注意してください。


ここまでの条件は、4次の行列式でもまったく同じ結果にたどり着けます。

が、4次だとこのあとの展開があるのかどうか、僕にはよくわからなかったのです。
とにかく4次だと煩雑だったんですよ!
係数AとBの関係を求めるフェーズへの見通しが、2次だとなんとか見渡せたのです。

小形さんの本には結果のグラフだけ示して
導出過程はもちろん、導出した結果の数式すら出してくれなかったので自力で不安な中やり遂げましたよ・・・これ小形さんの「形にしないことであえて学生に自主的に解かせる策略」なんですかぁ!?

まずは対称な偶関数から、具体的な波動関数の形を導出していきましょう。

kとk1とU0貞子ポテンシャルとの間にあるこの関係

を使います。

Ψ2(a)=Ψ3(a)の両辺にkを掛け算して2乗し、
微分した
Ψ'2(a)=Ψ'3(a)の両辺2乗と足してみましょう。

先のkとk1との関係を踏まえると

このような関係が見えてきます。よって、係数AとBの関係が判明しました。


しかしながら、AをBで表せても、この2元連立方程式は永年方程式なので、このままではBは定まりません。

そこで用いるのが「規格化」です。

波動関数の絶対値の2乗は存在確率を表すため
「全区間のどこかにはいる」ことから、その積分値は1になるはずです。
これを利用してBを求めます。


ここまではわかったので、あとは積分しましょう。

あとで、反対称の奇関数のときにも言えることですが
偶関数も奇関数も、実数の場合2乗するとどちらも偶関数になるため(整数の2倍に相当)
マイナスの無限大からプラスの無限大までの積分は
0から無限大までの積分の2倍になります。
これで、AもBも定まりましたね。


それでは次は反対称の、奇関数をやりましょう。


読者諸君、お前らがな!

 
↑これカンペです。クリックすると拡大します。
cosの2乗がsinの2乗に変わるだけなんで、加法定理で1±cos2になって、
実質Bの式で異なってくるのはその符号たった1つだけなんですよ


あと、違うのは固有条件(固有エネルギー)ですね




ところで、
デスノートの画期的だったところってみなさん覚えてますか?
あるいは僕の視野が狭いだけなのかもしれませんが
いわば、呪いのビデオを死刑執行の兵器に転用させたところから
相当ぶっ飛んでたと思うんです。
そのために貞子力学を確立させたんですよ、主人公が、一人で
追いかけろよ~(一人で) 捕まえてみろ~(一人で)
最初の自分の感想、騙されちゃってましたかねえ?
L・ψ・卍=3
   シュタ!


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まず、xが0以上a以下でゼロ、それ以外では無限大の、1次元無限深さ井戸型ポテンシャルV(x)における波動関数Ψ(x)を考えます。

時間発展のないシュレディンガー方程式を解きます。





一般解はこうなりますが、境界条件

x=0とx=aでΨ=0を与えると、波動関数はΨ(x)=Asin(kx)となり

なおかつ、nを1以上の整数として、ka=nπでなければならないことになるので

 

こうなります。また、規格化条件も考慮すると、ブラ・ケットを用いて以下のようになります。


A=√(2/a)なので、波動関数は以下のように定まりました。



Aという物理量の演算子の期待値(平均値)を求めたい場合、
Aの演算子をブラとケットで囲めばよいので


例えば位置xの期待値を知りたい場合は以下のように記述し、計算できます。


ちゃんと、どの量子数nでも「aの半分」と算出できましたね。


次に、xの2乗の期待値も調べてみましょう。


このようになります。


位置xの演算子はxそのものでしたが、

運動量pの演算子は異なってきて


のようなベクトル微分演算子、特に一次元では

ベクトル関係ない微分演算子になるので
特に井戸型ポテンシャルにおける運動量の期待値は
 sinとcosの、少なくとも直交する2つの関数の積の積分となるので、ゼロとなります。



次に、またpの2乗の期待値について考えてみましょう。
こちらの値はちゃんと有限です。


特に井戸型ポテンシャルの場合は2階微分しているため、同じ関数同士の積の積分になって、値を持ちます。


それでは、先の<x^2>と<x>^2との間にはどのような関係があるのでしょうか。

一般の物理量Aには、平均値<>についてのような関係があるそうです。
誤差の理論なのかRMS(実効値)なのかよくわかりませんが(サンプル数が多すぎて?)、とにかくこういう関係があるそうです。
後日勉強したいと思います。


そうすると、位置についてのΔxは、以下のように算出されました。


座標軸の中央をあえて井戸の中心から外しているのは、(Δx)^2=<A^2>ではないことを意識させるためです。
もう一つの理由は、量子数の偶奇によって、sinとcosが交互にこないように、sinだけで一括表現するためでもありました。


それでは、運動量についてのΔpも見てみますと
運動量の1乗の平均値がゼロなので、こうなります。



両者を掛け算すると

こうなります。
量子数nが、1以上の整数の場合、ルートの中身は常に1以上です。
これの意味するところが、(ハイゼンベルクの)不確定性原理です。
具体的に井戸型ポテンシャルでやってみました。

やーそれにしても、こんないい例題をずっと見逃していたなんて。
井戸型ポテンシャルの、波動関数のだいたいの広がりが「(簡単に)計算できる」っていう発想がそもそもなぜかなかったんですよ。まったく貧相な想像力ですねえ。
無限深さだから、積分範囲も有限で、例題にはうってつけです。

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よろしくね~☆

じゃねえんだよ!よろしくないんだよ!


でもまあ、久々に進捗そのものができただけよしとします。

井戸型ポテンシャル内の、「粒子の位置の期待値が井戸のど真ん中
っていう当たり前のことを数式で突き止めました。

量子数nがいかなるときでもど真ん中っていう、ごくごく当たり前のことを突き止めました。

次は期待値<x^2>やって、<p>やって、<p^2>やるんすね!

htmlと誤解されない表現ヤメロ


変位と運動量の実効値ですか!?
誤差の理論というよりは、RMS(2乗和平均)に近い気がしますね、サンプル数的な意味で

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今日は仕事帰りにファミマで買いGUI(食いで変換しなおしてもCUIが出るのやめろ草)をして
井戸型ポテンシャルにおける不確定性原理の確認をするなどした。


なぜこんな僕に最適な例題を初めて見たような顔をするのか
そんな顔してるだろ?
なぜマジで初見なのか
それは・・・

(ニャメローン)
(アロワナノー)
(ピロピロピロピロピロ)
(ッヘーイ)

よくわからないのだーーーーヴェーハハハハ!!!!

期待値って言葉に苦手意識でもあったとかだろうか。
まあ確かに苦手意識はあった。確かあったはずだ


<Ψ|p|Ψ>
<Ψ|p^2|Ψ>
<Ψ|x|Ψ>
<Ψ|x^2|Ψ>

井戸型ポテンシャルの波動関数は実数なので、複素共役は同じもの
距離xの2乗はどこから掛け算しても構わないが
運動量pの演算子は2つの波動関数同士の間に挟めるように作用させなければいけない

そして、たとえ運動量やほかの演算子だろうと、距離xで積分することには変わりはなく
無限深さの井戸型ポテンシャルでは、-aからaまでなどと、有限の範囲で積分することが可能


ただし、xやpそのものの期待値を改めて求めるために
演習では-aからaまでではなく、0からaまでの井戸型ポテンシャルにしたほうが面白いかもしれないし

Δxと<x^2>、<x>^2との関係や<x^2>と<x>^2の違い
平均値や残差などもからめると、おそらくより有意義な問題となるような気がする上

そうしないと<x>^2=0になって理屈を間違って覚えかねない。

また、おそらくだが、
0からaまでだと、sinだけで表現可能で、cosと交代交代しなくていいんじゃないだろうか

というのを、矩形波のフーリエ級数展開を思い出しながら考えていた



しかしながら、毎日のことながらゲームやネットに夢中で今日も力尽きてしまった。
定性的なことしか書けなくてすまん

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「日本にアニメ要素を取りこんだのはフェイリスなのニャ!」

 「どこから取りこんだというのだ!?」

「タ、タイムパラドックスにゃ・・・!」

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もちろん、振動数が波数の2乗に比例する自由空間的なポテンシャルですよ

時間発展を見ると当然、崩れますよね、実空間的には

じゃあこれをフーリエ変換の向こう側の世界である波数空間で見ると・・・?
収縮する・・・?ん?どの値に?
そもそも自由空間であって束縛状態ではないから、波束を構成する波数は理論的には離散値にならないし
どうなるんだ??


もしかして、数値計算のメッシュの間隔とかにも依存するの・・・?


それとも、波数の中央値に収束するのかなあ?

変わらないという可能性は・・・?いやでも、実空間と対になるのはあくまで波数空間であって
どちらも時間発展はするはず・・・

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プロフィール
HN:
量子きのこ
年齢:
37
性別:
男性
誕生日:
1981/04/04
職業:
WinDOS.N臣T
趣味:
妄想・計算・測定・アニメ
自己紹介:
日記タイトルの頭についてるアルファベットは日記の番号です
26進数を右から読みます
例:H→7番目、XP→15(P)×26+23(X)=413番目。
A=0とする仕様につき一番右の桁はAにできませんのでご了承くださいズコー
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