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20080511~ 13と7と11の倍数の論理積は13と7と11の積の倍数である。 和ァ・・・
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マーティ・ジャガフライ先生
「これ、なにかわかるっすか?」
「芋・・・ですか?」
ピカ・・・テリヤさん「
俺っち、これジャガーだと思うんすよ。芋をこうして組み上げていくんだと思うんすよ」


アライ「うう・・・けものフレンズの1話のコメントがツライのだ・・・」

サーバル「どういうこと?」

フェネック「アプリ第2版が出るってときに、まだ『たつき監督を返せー』ってなってて、ファンの毛皮を被ったアンチみたいで心が折れそうなんだよー」

サーバル「たつき監督を嫌いになったわけじゃないのはだいたいみんな一緒なのにね」

アライ「徐々に、『全部紘汰さんのせいだ』みたいになってほしくないのだ・・・」

フェネック「えーせーしょー?」

アライ「わくせいかんがいむしょー」

サーバル「どこぞの匿名掲示板ですら、パスワード制で自分のやらかしたコメントを消せるのに、なんでこんな仕様なんだろう?」

かばん「はっ!」

サーバル「かばんちゃん、何かいいアイデアある?」

かばん「同じコメントを何度も見てるんだ・・・!ねえサーバルちゃん、エゴサってわかるかな?」

サーバル「自分の周りの事象について、インターネットで検索することでしょ?」

かばん「そうそう。でも、エゴサするつもりがなくても、結果的にエゴサになってしまうことってない?」

サーバル「ああ!たとえば、『グルーオン グルーポン』で検索して、なんか気が合いそうなコメントがあるなーって思ったら実は過去の自分のコメントだった、とかそういうかんじ?」

かばん「そうそう!匿名性が高いと、過去の自分自身かどうかも、一瞬わからなくなるんだよ」

フェネック「あるねー」

アライ「あるあるなのだ!」


かばん「それで、暗黒物質の話なんだけど」

アライ「はぁ!?

フェネック「ああー、昔雑誌で見たことあるよ。暗黒物質は実は自分自身を合わせ鏡で見てるだけかもしれないって話ー」

サーバル「フェネック!?」

フェネック「アライさんがおとといの方向に第一失踪しちゃうから、ハッブルディープフィールドの情報を知ることは基本だよー」

アライ「やっぱりフェネックはすごいのだ!」

かばん「重力について合わせ鏡を実現させたいのであれば、重力波を反射できる物質とか現象が、少なくとも理論上存在しないといけないよね?」

アライ「重力レンズじゃだめなのかー?」

フェネック「あくまで、重力で『重力波を』反射させたいわけだからねー。フォトンの波を反射させるだけじゃだめなんだと思うよー」

かばん「いや、それがね、思ったんだけど、『万有引力』っていうくらいだから、重力子にとって、すべての粒子は平等なんじゃないかなって思って、それは重力子そのものも例外じゃないんじゃないかなって」

アライ「繰り込みが不可能なのだ!」

サーバル「なんだか『張り紙禁止』の張り紙みたいだね!」

かばん「そこまでメタかどうかはわからないけど^^:質量がゼロな粒子であれば、重力子にとってのフォトンと重力子は区別がつかないんじゃないかなってなんとなく思ったんだ」

サーバル「じゃあ、重力レンズが光波に対するのと同様に、重力波に対してもレンズになってるんじゃないかってこと?」

かばん「もしかしたらね。重力波を重力レンズする現象、拝んでみたいよねぇ・・・」

サーバル「あれ?今ビーバーいなかった?」

かばん「マーゲイさんを参考に、ビーバーさんの声真似をしてみたよ^^」

アライ「口調は真似できなかったのだ!」

フェネック「声真似はモノマネじゃないからね~」

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 にしおいしん
(横読み←→縦読みにもできたような気がする)
 
鏡に映った自分がなぜ左右だけ反転して、上下に反転しないのか
という問題、
人間の錯覚だけの問題ではないのだろう

錯覚で片付けられると「いやいやwwwwそんなわけねえだろwwww」
ってなりかねないが、
実際、左右に回りこむと想像しがちで、上や下から回りこむ想像はほとんどしないから
やはり錯覚も原因の1つではあるようだ。


ただ、考えなくてはならないのはそれだけではなく
空間は3次元で、「上下」「左右」と、もう1つの「反転」がある。つまり「手前と奥」の反転だ。

左右をx、上下をy、手前と奥をzと考えると
x軸反転→y軸反転→z軸反転をすると、全部「反転」しかしていないはずなのに
元の状態に戻る。

これは「パリティ」と呼ばれるもので、P対称性と言われたりもするのだけど
このほかに「荷電共役反転C」と「時間反転T」があって

興味深いことに、P反転→C反転→T反転をしても元に戻ると言われている。
つまり、対称性がネストとかマトリョーシカとか、そういう「入れ子構造」になっているのだ


へヮへ「せんせい!この問題は、C→Pをやった時点ですでに元に戻ってしまいます!」

0w0「おお、すまんすまん!問題が悪かった!新しい問題だよ!代わりにISO山椒モデルをあげよう!」

TxT「150?」

0w0「ISOだよ!い・そ・さ・ん・し・ょ・う!」

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昨日はついヒャッホウしてその3のタイトルを間違えてしまいました。><欠番扱いです

準備が整ったので、対角化からのアプローチで、行列指数関数を使って
ロドリゲスの回転公式を導出してみましょう。

Aの行列指数関数exp(A)を計算すると、ロドリゲスの回転公式になるはずです。

対角行列Jを
として、行列指数関数はテイラー展開から、
exp(A)=Pexp(J)P†で与えられるので
Pとそのエルミート共役P†を



とすると

対角行列の行列指数関数は

このようになるため、
以下のように略記します


その上で展開しますと


このようになります。ここで、X,Y,Zはそれぞれ、複素数x,y,zの絶対値の2乗とします。

また、

この2つの複素数は、それぞれ三角関数と実部・虚部を用いて、複素共役の関係にあることがわかるため、式は以下のように展開できます。

ここで、X,Y,Zと、x'y、y'z、z'xの中身をぶちまけてみますと



このようになるため、
以下のように展開できます。



これで完成のはずなので、A^3=-Aとなる関係を用いて導出したロドリゲスの回転公式と比較してみましょう。

exp(A)=E+Asinθ+A^2*(1-cosθ)

なので


ぴったりと一致しているのがわかるかと思います。

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といいつつ、対角化したい行列はただの交代行列(実数)なんですけどね

これを対角化したいと思います。昨日・・・じゃなくて今日、の続きです。


この行列Aを、ユニタリ行列Pとそのエルミート共役P†で対角化しましょう。



対角化されたあとの行列をJとおくと
J=P†APとなるわけですが

せっかくなので、Pをモジュール化してみます。


こうおいてみますと、対角化行列Jは

このように表されますね。

最後の計算は長いので、要素ごとに分けて表示しますと
2行目は全部ゼロなのはいいとして、非対角成分は

このように
対角成分は

このようになりますね。

非対角成分は、計算するとすぐにゼロだということが分かると思いますので、計算してみてください。


残るは、対角成分2つです。

整理すると、J11=-J33と、ただ符号だけが逆なのだとわかるので、J11だけ計算します。
一般に、2つの複素数vとwの、このような式は、虚部を2i倍した

であることがわかるかと思いますのでJ11は


こういうことが言えます。

ここでようやく、v1、v2、v3やその複素共役の中身を思い出すわけですが

なので、虚部はc/2ですね

同様に


実部と違って虚部は一見なんのことかよくわからないように見えますが
a^2+b^2+c^2=1の規格化条件を思い出してみると
a^2+c^2=1-b^2であることがわかり、実部同様、虚部も約分できて
b/2であることがわかるでしょう。


となって、虚部がa/2であることがわかります。

よって、J11=2i(c*c/2+b*b/2+a*a/2)=i(a^2+b^2+c^2)=i
であることがわかり、J33はその逆符号である-iであることがわかります。


つまり、

と、めでたく固有値±iと0で対角化できたというわけです。

このようにモジュール化して考えることで、計算効率もよく、ミスしづらいことがわかるかと思います。
と、ここまで書いていて自分自身、これがプログラミングにもそのまんま当てはまるんだなと気づかされました。


オブジェクトシコうは概念は割りと単純なんですが
それを実装する際のルールの習得が結構面倒なんですよね。
おそらく一般相対論のテンソルの概念とも共通するところがあるんじゃないかと思います
なんというか、一言で言うと、習得までの腰が重い


もし4次元の複雑さに生命や知性が住めると仮定すると
その4次元人にとっての紙媒体のようなものは、1つ次元の下がった3次元で
ベクトル、行列と、3階のテンソルまでが容易に想像できる数学的構造なんでしょうか・・・

とはいえ、4次元人は理論的に存在できなさそうな雰囲気なので、考えるだけ無駄かもしれません

ここでいう「理論的に存在できない」というのは2次元人にとってドーナツ構造が感覚的に理解できず、同様に腸などの内臓を「またぐ」という概念がないのなら
4次元人は逆に、複雑すぎて生命も知性も誕生しえないかもしれない、といった意味合いです

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昨日はお楽しみでしたね(シン・ゴジラ)

映画が始まる直前まで、おとといの続き「ロドリゲスの回転公式の対角化からのアプローチ」をやっていて、
ギリギリで固有ベクトルのバグが取れましたが、それ以降はシンゴジラとそのツイートにエモさを感じて何もできませんでした。



固有値λがi,0,-iのときの固有ベクトルをそれぞれ求めます。

まずλ=iから

この連立方程式について、v1,v2,v3を求めるわけですが
もちろん永年方程式なので、固有ベクトルの3つのvの値は求まらず、v同士の比しか求まりません。

これが結構複雑でして、線形ではあるものの、実数とか純虚数にとどまらず、一般に複素数のベクトルになります。


こんな比になりますが、実は規格化条件という、4本目の式が隠れていまして
それを使うと4本の式になるので、結局、3つのvの値は確定できます。

v1^2+v2^2+v3^2=1

これが規格化条件です。

少し具体的に計算しますと
A^2{|-c-iab|^2+|i(1-b^2)|^2+|a-ibc|^2}=1

となるので、
A=√(2-2b^2)
となります。よって、固有値λ=iのときの固有ベクトルp1は

と、確定できます。


次に、λ=-iのときの固有ベクトルを解きますが

今度はこれを解けばいいということになり
結局、p3はp1の複素共役になります。
規格化定数も√(2-2b^2)と、同じものとなりますので

こうなります。


最後にλ=0のときの固有ベクトルを求めますが、これは簡単で
もちろんこういう式になって


固有ベクトルは

こうなります。最初から規格化条件を満たしていますね。
(実は最後まで残っていたバグがここだったなんて口が裂けても言えない)


この縦ベクトルp1,p2,p3を横に並べたものを使って、対角化するわけですが
規格化された固有ベクトルなので、この3次行列はユニタリ行列となり



行列式は-iとなって、ガウス平面の単位円周上にあることがわかるかと思います。

ユニタリなので、逆行列を求めるのも簡単です。エルミート共役(転置して複素共役)
inv(P)=P†
を取れば、逆行列になります。

掛け算PP†すると、単位行列になるはずです。


実はPもP†も、縦横どちらの2乗和を取っても、1になります。ルービックキューブみたいですね!しらんけど


これのサイコロステーキも面白そうですよね。
どうやったら「特殊」ユニタリにできるのか(detP=1)、
その焼肉の回転はとびとびなのか連続なのか

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今日は、いかにサボってそれなりのブログを書くかを努力する日です。
もう余力がありません。


4次元に手を出す前に、まず、3次元におけるロドリゲスの回転公式を
対角化からのアプローチで出してみようということになりました。


この行列指数関数を導出する際に、exp(R)のR^3=-Rになる特性を使わずに
固有値・固有ベクトル・対角化から、求めてみるというわけです。


まず、(x,y,z)がまだ規格化されていないベクトルとして
W^2=x^2+y^2+z^2

(a,b,c)W=(x,y,z)

となるようにします。

そうすると
a^2+b^2+c^2=1なので


とできますよね。
この、Wを除いた行列の固有値を求めると、少し楽ができるという寸法です。

 
なので、固有値をλ=0,±iと、簡潔に記述でき、次の固有ベクトルの計算に向けて
かなり楽ができることになります。


今日はもうこれでいいや。
続きは、余力がありしだいアップします。

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通院1:バイト2で結構クタクタなんだけど、大学・企業ホイホイが勢いに乗ってるから
調子に乗ってブログ書きます。

汎用ローレンツ・ロドリゲスの双曲・回転公式ですが

まず行列指数関数にするために、生成子Aの固有値λを計算します。




λが2次の係数をB、0次の係数をCとおくと、固有値は
 
の4つが求まります。(複合同順でない)

B=θ^2-α^2とか置いておきたいですねーそれぞれ三角関数と双曲線関数の単位ベクトル的なやつですよ
(θx,θy,θz)=(x,y,z)/θ
(αx,αy,αz)=(a,b,c)/α

とかして、なんとかしてやりたいっす。
θx^2+θy^2+θz^2=1
αx^2+αy^2+αz^2=1とかですよもちろん

静止しているときとほぼ光速のとき
無回転のときと回転してるときとで、合ってるのか確かめたいですけどそれは明日
あと、特定の方向だけのときのローレンツとロドリゲスをそれぞれ確認ですねー

固有ベクトルのときに死ぬなーこれ



ロドリゲスだけのときは当然生成子は交代行列ですけど
ローレンツだけのときは逆に、生成子は実対称行列だけになるので
行列指数関数に入れた結果の行列は、特殊ユニタリではなく
あえていうなら「特殊エルミート」とか「特殊実対称行列」とも呼べるものになりそうですね

ガウス平面を両対数方眼紙にしてやると、等間隔に固有値が出てきそうな感じで
行列式はexp(1)*exp(-1)=1みたいな感じになるはずっす
トレースがその代わり、coshのスカラー倍みたいになるでしょうね


どうやっやっかなー

ロドリゲスのときは生成子の3乗で順繰り巡る構造してたから楽でしたけど
今回のはそうもいかないかもしれないんで
一度、ロドリゲスのほうを固有値・固有ベクトル・対角化からのアプローチから計算してみようかなと

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時間の次元だけは特別で、空間の次元たちとはちょっと違う。

上がローレンツ変換用の生成子
下が単なる回転行列のための生成子

個別で行列指数関数にいれたら、それぞれこうなる(符号はテキトー)



以下のように使うが、行列の指数関数なので、A=Bとは一般にはならない。



まさかこっち経由で、LRLベクトルによる4次元を意識することになるとは思わなかった。


それと、固有値=0が2重になるので、
2重になった1つの固有値で2つの固有ベクトルを出す過程が体験できる。
そんな簡単にジョルダン標準形は使わせないよ!的な。
まあ非常に簡単な例題にはなるんじゃないかな



上3つはもはやユニタリの生成子ですらねえ!
とは思うものの
出来上がった双曲行列とも呼ぶべき行列の行列式を計算してみると
ch^2-sh^2=1になって・・・あれ?ってなる。生成子のトレースがゼロだから、まあなるっちゃなるのか??

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特殊相対論の、ローレンツブーストを表す行列は、回転行列に似ている。

異なるのは、三角関数ではなく双曲線関数になっていることで
どちらも実数行列である。


ならば、特殊直交行列の生成子からのアナロジーで、導出できないだろうか??

特殊直交行列の生成子はエルミート行列なので、これに虚数単位を掛け算して
歪エルミート行列にしてから行列指数関数の中身にすることで
回転行列を得ている。

このときのエルミート行列は、パウリ行列やゲルマン行列などの中で、純虚数だけでできているものを選ぶ。
つまり、虚数単位を掛け算すると、歪エルミートになるというより、実数だけでできた交代行列になるわけだ。
2次行列であれば、この3つのうちから

これを選ぶ。



ならば、ローレンツブーストを行う行列は
虚数単位を掛け算すると、エルミートというより、対称行列になるような、
歪エルミート行列を選べばいいので、

たとえば2次の行列であれば、

2^2-1=3つの歪エルミート行列のうちから

これを選べばよい。

そうして、虚数単位と変数を掛け算してから、行列指数関数の中に入れると
テイラー展開と対角化を使って、以下のように、ローレンツブーストを導出できる。



この場合は2次行列なので、純粋に一次元の空間と時間を扱っているが、
4次元時空の場合は、3次元空間に1次元の時間を扱うので、4次行列となる。
そのため、ローレンツブーストの場合だけでも

以上の4^2-1=15個の生成子のうち
対角要素がすべてゼロで、なおかつ純虚数(と0)だけでできている

この6種類を、適宜使い分けることになる。
(ただし、ベクトルの1つ目ctとだけ空間次元を絡ませるため、少し減らせるかもしれない)

たとえばこんな感じだ。




また、クォータニオンではなくベクトルを用いている以上、スカラー倍、回転、平行移動も行いたいという需要があると思うので
任意軸での回転などを行いたい場合は4次元に拡張されたロドリゲスの回転双曲公式があれば使い勝手がよくなるだろう。

3次元ロドリゲスの回転公式(空間版)と、ロドリゲスの双曲公式(ctとのカップリングだけなので、何次元があればいい?)とでも呼べるものがあって組み合わせられればいいだろうか。
(平行移動を考慮に入れたい場合は、ダミー次元を1つ追加して5次行列がテンプレになるだろうか)


しかし、4次元以上になると任意軸が複数になってくるので、どうなるのか僕自身まだあまり理解していない

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月ができたっていうジャイアントインパクトを起こした、火星ほどの天体は、
実は天体サイズの浮遊生物で、天体にぶつかってマーキングをすると、
その天体に子孫を残すような繁殖ルールで生きていたんだ。


月は、ほぼ地球の物質でできてるらしいけど、地球のほうにその天体生物の子孫が残って
それが日本列島っていう生物だったらしい。

でも生物、特に動物がフレンズ化すると、MKSいかなるスケーリング則も無視して人間サイズになってしまうため
ある日突然、結構短めのスパンで、日本列島はフレンズ化して沈没したんだ。

どうも日本人という民族が国を作っている時期にフレンズ化したらしいんだけど
幸いにもこれは人為的なフレンズ化だったらしく
日本列島の上に載ってた生物は、すでに全部どこかに避難していたらしい。


ところで
無機物からセルリアンが生まれるらしいけど、
ジャパリパークは、大質量の物質から生まれたセルリアンの死骸なのかもしれない

特に、なんの記憶にも触れていない無機物で、生物だったものや、生物の思念にほとんど触れていないほどセルリアンに向いているらしい。
マントルやコアもそうなんだけど、製造したてで、まだユーザーに愛着が湧かれていない自動車や家電なんかも、セルリアン化には適しているみたいだ。
つまり、作ったはいいが、使われることなくゴミになってしまったものを分別しさえすれば
もってこいの材料になる

フレンズと違って元動物に戻った際に絶滅動物やUMAなどになるわけでもないので、
物質運用にも適している。


あるいは、月の一部を用いたという噂もある。
もうすでに生命が誕生した地球にとって、月はある程度用済みだったというわけだ。

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ふと思い出した。

整数なら、3の3乗が27でピーク。

じゃあ実数なら?

つうことで、

x^(6-x)のグラフを描いてみた。

だいたい、2.9の3.1乗が27.129でピーク・・・なんじゃこりゃw

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//x方向成分の固有状態をロドリゲスで


x=-1/2
z=1/2
y=1/sqrt(2)
s=%pi

x=x*s //規格化解除
y=y*s
z=z*s

sx=[0,0,0;0,0,-1;0,1,0] //ゲルマン行列
sx=sx*%i //エルミートに
sy=[0,0,-1;0,0,0;1,0,0]
sy=sy*%i
sz=[0,-1,0;1,0,0;0,0,0]
sz=sz*%i

R=%i*(-sx*x+sy*y-sz*z)

clean(expm(R))


 
=======
//エルミートの確認
M1'-M1


//ユニタリの確認
M1'-inv(M1)


//特殊ユニタリの確認
det(M1)=1

//固有値
spec(M1)





===========
//y方向成分の固有状態を改造版ロドリゲスで

x=-1/2
z=1/2
y=-1/sqrt(2)
s=%pi

x=x*s //規格化解除
y=y*s
z=z*s

sx=[0,0,0;0,0,1;0,1,0] //ゲルマン行列
sy=[0,0,-1;0,0,0;1,0,0]
sy=sy*%i //エルミートに
sz=[0,1,0;1,0,0;0,0,0]

R=%i*(sx*x+sy*y+sz*z)

M2=clean(expm(R))

 



========
//エルミートの確認
M2'-M2


//ユニタリの確認
M2'-inv(M2)


//特殊ユニタリの確認
det(M2)=1


//固有値
spec(M2)

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3状態系の、角運動量の、y方向成分の固有状態3つを横に並べると、
このような、特殊ユニタリでもありエルミートでもある行列になります。

 
(先日は符号を真逆に表示してましたすみません)


さきほどのx成分の記事同様、これも特殊ユニタリSU(3)の生成子から作れるはずだと思いまして

ただし、今回は非対角成分の一部に純虚数を含んでいますので、
単純に、ゲルマン行列8種類のうちから、純虚数のσだけ選ぶことはできません。
σが純虚数だけでできているとき、生成子から生成される特殊ユニタリそのものは、実数になり、
σが実数だけでできているときの特殊ユニタリは複素数になります。

また、純虚数の配置から、x軸とz軸回転に相当する回転行列が複素数になりえるというアナロジーから、今回はσ1、、σ5、σ6を使い、任意軸回転行列のようなもの「改造版ロドリゲスの回転公式」を作ることにします。

 


つまり、これが改造版ロドリゲスの回転公式になります。
(ただし、右手系になるような符号の調整は後回しにします)

交代行列R=i(σ67*x+σ5*y+σ1*z)を
 
と定義すると(iは虚数単位)

この場合も、
exp(R)=M=E+R*sinθ+R^2*(1-cosθ)

となります。(Eは単位行列で、x,y,zは規格化条件x^2+y^2+z^2=1を満たすものとします)

指数関数expをテイラー展開するのですが
ここでも、R^3=-Rが成り立つと判明しているので、本家ロドリゲス同様の不格好な公式が導けます。


実装して比べてみますと
 
このようになります。三角関数の中身Θを省略して書いてしまいましたが、存在しています。
元々、Θ=(θx,θy,θz)という角運動量のようなベクトルだったのを、絶対値|Θ|=√(θx^2+θy^2+θz^2)と向き(x,y,z)=(θx,θy,θz)/Θに分けて書きなおしているのです。

ここで、対角成分だけを抜き出して比べてみましょう。
 
このような連立方程式になりますが、3つを全部足してみると、うまいことx,y,zが消えてくれて
cosθ=-1だということがわかります。(3本に見えて実は4本の連立方程式だったのです)
つまりθ=πです。


このθを上の3つの式に代入しなおしてやりますと、x,y,zがある程度求まりまして

x=±1/2,z=±1/2,y=±1/√2
と求まりますが、この複合は同順ではありません

そこで、非対角成分、特に上三角(下三角でやっても意味同じです)の3本の式に入れることで確定してみます。

すると、x=±1/2,z=-(±1/2),y=±1/√2と、ようやく定まりました。
今度は複合同順です

±がついていますが、どうせθ=πなので、符号はどちらか片方で構いません。


つまり3次元の回転行列に見立てると
-x=z=1/2,y=-1/√2,θ=πが、なぜか固有状態に相当するらしいです。


この結果に何の意味があるのかはわかりません。遊びですw

やっぱり
y軸だけなんとなく非対称な感じがしますね。
まずxz平面で固めてから((1/2)^2+(1/2)^2=1/2)、
xz-y平面にまとめた(1/2+(1/√2)^2=1の単位ベクトル(x,y,z))感じがします。

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3状態系の、角運動量の、x方向成分の固有状態3つを横に並べると、
このような、特殊直交でもあり実対称でもある行列になります。




それならば、 特殊ユニタリ行列SU(3)や特殊直交行列を、生成子から作れるように
この行列もまた、生成子から作れるはずだと思いまして。

3次の特殊直交行列SO(3)、つまり実数行列なので、ゲルマン行列8種類のうち、純虚数成分だけ含む3種類の生成子σ2,5,7だけを用います。




つまり、これはロドリゲスの回転公式そのものということです。
(ただし、右手系になるように符号を調整しています)

交代行列R=i(-σ7*x+σ5*y-σ2*z)を

と定義すると(iは虚数単位)

exp(R)=M=E+R*sinθ+R^2*(1-cosθ)

となります。(Eは単位行列で、x,y,zは規格化条件x^2+y^2+z^2=1を満たすものとします)

指数関数expをテイラー展開するのですが
R^3=-Rとなる性質を利用して、上記のようなちょっと不格好な公式が導けます。


実装して比べてみますと

このようになります。三角関数の中身Θを省略して書いてしまいましたが、存在しています。
元々、Θ=(θx,θy,θz)という角運動量のようなベクトルだったのを、絶対値|Θ|=√(θx^2+θy^2+θz^2)と向き(x,y,z)=(θx,θy,θz)/Θに分けて書きなおしているのです。

ここで、対角成分だけを抜き出して比べてみましょう。

このような連立方程式になりますが、3つを全部足してみると、うまいことx,y,zが消えてくれて
cosθ=-1だということがわかります。(3本に見えて実は4本の連立方程式だったのです)
つまりθ=πです。


このθを上の3つの式に代入しなおしてやりますと、x,y,zがある程度求まりまして

x=±1/2,z=±1/2,y=±1/√2
と求まりますが、この複合は同順ではありません

そこで、非対角成分、特に上三角(下三角でやっても意味同じです)の3本の式に入れることで確定してみます。

すると、x=-(±1/2),z=±1/2,y=±1/√2と、ようやく定まりました。
今度は複合同順です

±がついていますが、どうせθ=πなので、符号はどちらか片方で構いません。


つまり3次元の回転行列に見立てると
-x=z=1/2,y=1/√2,θ=πが、なぜか固有状態に相当するらしいです。


この結果に何の意味があるのかはわかりません。遊びですw

y軸だけなんとなく非対称な感じがしますね。
まずxz平面で固めてから((1/2)^2+(1/2)^2=1/2)、
xz-y平面にまとめた(1/2+(1/√2)^2=1の単位ベクトル(x,y,z))感じがします。

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