YJ：sinカーブを台形近似する最適化(YJはヤングな跳躍)

やったよー！
何ヶ月もケアレスミスしまくった計算についに終止符が打てたよー！

そのおかげで気になって眠れなくて就寝が午前の4時半になってしまったんだけどね
またひとつ計算の自信復活した！

その昔、去年の夏くらいかな
三角関数のサイン関数を台形で近似するって方法を思いついたころから2度ほどケアレスミスで断念してたんだけど

この絵みたいに台形で近似した場合、どんな形の台形だったら一番サイン関数に形が近くなるのかなっていう計算をやろうとしてたんだ

一番近いって言うのがどういうものなのか定義しなきゃならないよね
それで、sinxと台形の関数f(x)との差(誤差)の2乗を全区間で足してやってそれが最小になるような台形の形を求めればいいよねって考えたんだ

sin関数の細かい値って関数電卓とかエクセルでもないと出せないじゃん
だから、区間ごとに傾き一定の直線(つまり台形)で近似できて、その最適な形になる条件をケータイかなんかにメモしておけば、電車に乗りながらでもsin15度とかがだいたいどんな値かわかるわけじゃん
便利でしょ

その最適な形を計算する手順がこれ

F=∫₀^π/2(sinx-f(x))²dx
ここで、
f(x)
=ax　(x：0～s)
=as　(x：s～π/2)
aは直線の傾き、sは傾きaの直線から傾き0の直線に移行するまでのxの区間

これにおけるFのaとsによる極小値を求めるため
∂F/∂a=∂F/∂s=0となるaとsを探す

Fの積分区間を0～sとs～π/2に分け、f(x)に具体的な式を代入する

F=∫₀^s(sinx-ax)²dx+∫_s^π/2(sinx-as)²dx
＝G+Hとおく

G=∫₀^s(sin²x-2axsinx+a²x²)dx
H=∫_s^π/2(sin²x-2assinx+a²s²)dx

GとHの第1項
∫₀^ssin²xdx(x：0～s)+∫_s^π/2sin²xdxは
∫₀^π/2sin²xdxに合体できるので、これをJとおく
sin²xは倍角の式
2sin²x=1-cos(2x)
を用いて変形すると
J=∫₀^π/2(1-cos(2x))dx/2=[x-sin(2x)/2]₀^π/2/2=π/4

Gの第2項のうち
∫₀^sxsinxdxは部分積分を行って解くのでIとおくと
I=[-xcosx]₀^s+∫₀^scosxdx=[-xcosx]₀^s+[sinx]₀^s=-scoss+sins

よって、
F=π/4-2a²s³/3+πa²s²/2-2asins
となる
∂F/∂aと∂F/∂sはそれぞれ
∂F/∂a=-4as³/3+πas²-2sins　①
∂F/∂s=-2a²s²+πa²s-2acoss　②
なので、この2つが0と等しくなるaとsを連立方程式として解く
この方程式は三角関数を含む超越方程式だが、できるだけ解きやすい形まで持っていく

①：πas²-4as³/3=2sins
②：πa²s-2a²s²=2acoss

①はas²でくくれるので
①：as²(π-4s/3)=2sins

②はaで約分することができるので
②：πas-2as²=2coss
さらに左辺はasでくくれるので
②：as(π-2s)=2coss
aの式に直すと
a=2coss/s/(π-2s)

このaを①に代入して
2s²coss(π-4s/3)/s/(π-2s)=2sins
2cossで両辺割って
s(π-4s/3)/(π-2s)=tans

つまりこの方程式を解いたsがsin関数を台形近似したときの最適なxの分割区間を表し
解いたsをaの式に代入して求めたものが最適な傾きを現す。

この方程式ばかりは仕方がないのでエクセルに入れてsを探り探り求める。
s(π-4s/3)/(π-2s)-tans
に0～π/2のいろんな値を入れて、多項式がもっとも0に近くなったsを最適なsとする。

すると、sがdegにして62度でほぼ最適な値を示した。
傾きaは0.89なので、台形の高さasはsinの振幅の96％が最適ということになる。

これは以前、エクセルに実際にaとsをパラメータとしてsin関数とf(x)を入れて誤差を算出しながらフィッティングしたときの結論と一致する。