GH：サンキュー初夢(GHは負帰還時空における増幅と帰還ブロック)

③
さて、夢に出てきた3の倍数に関する証明の続きでもしますか。


n桁の整数をどう並び替えても3で割ると同じ余りになる証明

具体的には
∑10^k*a_kを3で割った余りは∑a_kを3で割った余りと等しいことの証明 (k：1～n、a_nは任意の整数)

∑10^k*a_k=3c+d₁　(余：d₁は0～2の整数、商：cは任意の整数)①
ならば
∑a_k=3c+d₂　(余：d₂は0～2の整数)②
だと
d₁＝d₂である
ことを証明したいので
②を①に代入する
∑(10^k-1)*a_k+3c+d₁ =3c+d₂　(kは1～n)
とすると、
d₁-d₂=3c-∑(10^k-1)*a_k
なので3の倍数

とするにはまだ早い。
すべてのnにおける10ⁿ-1が3の倍数でなければならない。

以下の(1)を召還して、10ⁿ-1が3の倍数であることは証明されたので
d₁-d₂は3の倍数

しかしd₁とd₂およびd₁-d₂は0、1、2の値しか取れないので
そのうちで3の倍数は0しかない
つまり
d₁-d₂=0であり、両者は同一。　証明終わり




(1)
10ⁿ-1がすべてのnにおいて9の倍数であることの証明
数学的帰納法を使う
10ⁿ-1=9c　(商：cは任意の整数)

10¹-1=9は9の倍数である　①
あとは
10^k-1=9*cならば　②
10^k+1-1=10^k*10¹-1=9c　③
であることを証明すればよいので
③に②を代入する
(9c+1)*10-1=90c+9=9(10c+1)なので3の倍数
なので10ⁿ-1は9の倍数
kを最初に1と置けば順次2以降の証明も全自動的にやってくれる。

ということは3の倍数でもある。3の倍数を3倍したものが9の倍数であるから。
証明終わり。

なお、10ⁿ-1が3以上のmにおける3^mで割り切れないことから、このことは3と9にしか成り立たない。
m=0だと1で割ってしまうのですべての数が割り切れてしまう。







⑨
n桁の整数をどう並び替えても9で割ると同じ余りになる証明

具体的には
∑10^k*a_kを9で割った余りは∑a_kを9で割った余りと等しいことの証明 (k：1～n、a_nは任意の整数)

∑10^k*a_k=9c+d₁　(余：d₁は0～2の整数、商：cは任意の整数)①
ならば
∑a_k=9c+d₂　(余：d₂は0～2の整数)②
だと
d₁＝d₂である
ことを証明したいので
②を①に代入する
∑(10^k-1)*a_k+9c+d₁ =9c+d₂　(kは1～n)
とすると、
d₁-d₂=9c-∑(10^k-1)*a_k
なので9の倍数

とするにはまだ早い。
すべてのnにおける10ⁿ-1が9の倍数でなければならない。

以上の(1)を召還して、10ⁿ-1が9の倍数であることは証明されたので
d₁-d₂は9の倍数

しかしd₁とd₂およびd₁-d₂は0、1、2、3、4、5、6、7、8の値しか取れないので
そのうちで9の倍数は0しかない
つまり
d₁-d₂=0であり、両者は同一。　証明終わり