EU：超球シリーズ～ある日森の中ガンマ関数に出会った～(エウロパ)

前回の日記は、n次元超球の体積と表面積のグラフが連続性を持っていそうな点に興味がいったという話だった。

超球の体積と表面積に関するそれぞれ2つの式

体積が
rⁿ(2*(2π)^(n-1)/2)/n!!　　ｎ：奇数
rⁿ((2π)^n/2)/n!!　　ｎ：偶数


で、表面積が

r^n-1(2(2π)^(n-1)/2)/(n-2)!!　　ｎ：奇数
r^n-1((2π)^n/2)/(n-2)!!　　ｎ：偶数



をなんとか統一的に表現できないものか
というところからアプローチをスタートした

それぞれの項を一般的にあらわさなければならず
しかもそれで整合性が取れるのか確かめる必要があった。

しかし、式が複雑怪奇になりすぎて挫折してしまった。
むやみに試行錯誤的な式の修正はするべきではない
それが確信を持っていえることなのであればいざしらず
確信も持てないまま進めて行くと、長い道のりの場合モチベーションが持たない。



気分転換のつもりで
n!(階乗)についてwikipediaを見ていた。
ゆくゆくは整数ではなく実数のnに対して整合性を取りたいわけだから
階乗も実数に拡張しなくてはならない。

n!の対数を取って、それを∑で表し、さらに∑を積分に見立てたやり方では、n!の桁程度の精度しかなく、こんなものは使えない。

そんなわけで、ガンマ関数という概念にたどり着いた。

ガンマ関数Γ(n)は階乗を整数から実数、そしてなんと複素数にまで拡張した関数であり、
ただし、Γ(n)=(n-1)!
の関係がある。



ガンマ関数についてぐぐっていると
うっかりネタバレを見てしまった。



開いたサイトにn次元超球のガンマ関数を使った統一的な表現方法が載っているではないか。
n次元超球の体積V_nは、

V_n=π^n/2・rⁿ/Γ((n/2)+1)=2π^n/2・rⁿ/n/Γ(n/2)

だそうだ。
うん、シンプルだね。


答えを見てしまったので、あとはそれに従って計算するのみである。


しかし、ガンマ関数なるものをエクセルで見たことがなかった･･･はず。
おそらくアドインを追加しないとガンマ関数が使えないんじゃなかろうか。


アドイン追加とか関数の検索とかがめんどくさかったので
wikipediaにあったガンマ関数の定義を参考に
簡易的に積分して自作することにした。





すると、結構合うではないか。

これなら3.14次元の超球の体積なんかも求められてかなり萌える展開である。




しかし、自作のガンマ関数は、nが1未満になるととたんに収束が悪くなる。


これはどうしたものか。



つづく。



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