HU：フェルマーの最終定理の修正を提案してみる

フェルマーの最終定理は
「3 以上の自然数 n について、xⁿ + yⁿ = zⁿ となる 0 でない自然数 (x, y, z) の組み合わせがない」
というもの。

これに対し、
「0、1、2以外の複素数 n について、xⁿ + yⁿ = zⁿ  となる 0 でない自然数 (xⁿ, yⁿ, zⁿ) の組み合わせがない」
と修正したとき、反例を挙げることができないか

と考えてみていた。
つまりxやy、z自体は整数でなくとも、n乗したときに整数になるならよい、と条件を緩めてみたわけだ。
また、nも整数からいきなり複素数に制限を緩める。

そうすると、オイラーの公式：e^ix=cos(x)+isin(x)から
e²のiπ乗は1であり
eのiπ乗は-1なので、これを足せば0になる。
i=√(-1)は虚数単位、e≒3は自然対数の底、π≒3は円周率である。

つまり
(e²)^iπ+e^iπ=0^iπ
という反例が出せるのではないかと考えたわけだ。

しかし、0のiπ乗とはなんだ？
0のπ乗は0だからそこはいい。
しかしそれをさらにi乗するという演算は見たことがなかった気がする
これは可能なのか？少し不安になってきた。

 

とりあえずぐぐってみよう。
0ⁱ(0のi乗)でぐぐると電卓機能の計算結果が･･･出ない･･･
それらしきサイトも見つからない･･･

 

もしや本当に存在しないのだろうか･･･

思えば、0^zのzが負数である時点で0による除算になってしまうので
発散してしまう。

このzを複素数に拡張したら･･･どうなるのだろう

 

じゃあこうしよう。
aを何らかの複素数としてaのi乗について調べるんだ。
それで、aを0にする極限をとってみよう。

 

aのi乗の計算のしかた。

t=aⁱとおき、自然対数をとる。
lnt=ilnaとなるので
s=lnaとおく
この指数をとると
a=e^sとなるが
aは複素数なので
sも複素数となり
s=r+(θ+2πm)i

とおける。rとθは任意の実数、mは任意の整数である。
虚部がθだけでない理由は、何周しても同じ値を取るからである。

では、このsを代入してみる。

lnt=is=ri-(θ+2πm)
なので
t=e^2πm・e^ir/e^θ
という結果を得た。

aⁱという演算は、aという複素数の偏角と絶対値を入れ替える効果があるらしい。

このaについて0の極限を取りたいのだが、この場合aは複素数であるから、あらゆる偏角から0に収束させていったほうがいいだろう。



a=e^s、s=r+i(θ+2πm)なので
とりあえず偏角θとmは任意にしておき
rを-1から1つずつ減らしていくことにしよう。
r=-∞になったとき、a=0の極限となる。

すると、rの変化によってaⁱは図のような数になっていく。

e^2πm-θのθとmが任意なので、aⁱの絶対値はどの値も取りうる。
つまりrによる偏角しか定まらないので、線として表現した。

今のところrが整数だから偏角も離散的だが
rが連続になると偏角も連続的になってしまうだろう。
r=-∞つまり∞の偏角など知りようがない。

つまり、aを0に持っていったときのaⁱは、複素平面全域に広がってしまうということになる。つまり不定だ。

 

ということは、
(e²)^iπ+e^iπ=0^iπ
も成立しない。

こうして僕の提案は徒労に終わった･･･



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