DU：超球シリーズ～次元数は連続か？～

2010年4月7日の日記の続きなんだが


n次元超球の体積の求め方は、数値積分としてはさほど難しくないことがわかった。

断っておくが、n次元超球の「体積」がもはや「体積」ではないことは承知している。
以前はn積、n-1積などと呼んでいたが、やっぱり体積・表面積と呼んだほうがイメージしやすいようなので、以後こう呼ばせていただく。



まず2次元超球(円)の体積(面積)V₂=π・r₂²を出しておき

r₂=√(r₃²-z₂²)とした上で

V₃=∫_-r3^r3V₂dz₂　

を行うと、3次元超球(球)の体積V₃が求まるので
これをn次元に拡張すると

r_n-1=√(r_n-z_n-1)とした上で

V_n=∫_-rn^rnV_n-1dz_n-1

ただし、すべてのr_n=rであるとする。

とすれば、漸化式的にn次元までの超球の体積を計算できるというわけだ。

これを漸化式から一般式に直すのは簡単で、
単にn重積分を行えばよい。



これを解析的に計算する方法はめんどくさいので具体的には行わないが

∫V_n-1dz_n-1を行う上でa_nをn番目の数列として
V_n-1=a_n・r^^n-1
であることと
r_n-1=√(r_n-z_n-1)
であることがつながると
ルートの入った積分と入らない積分を交互に繰り返して行くことが

奇数次元と偶数次元の体積の式ががらっと変わってしまっている原因を作っているのだろうということは確認できた。


これがその式なのだが

体積が
rⁿ(2*(2π)^(n-1)/2)/n!!　　ｎ：奇数
rⁿ((2π)^n/2)/n!!　　ｎ：偶数


で、表面積が

r^n-1)(2(2π)^(n-1)/2)/(n-2)!!　　ｎ：奇数
r^n-1((2π)^n/2)/(n-2)!!　　ｎ：偶数



となっている。
n!!は階乗の拡張で2重階乗といい、
nが奇数のとき→n(n-2)(n-4)･･･5・3・1
nが偶数のとき→n(n-2)(n-4)･･･4・2
といったものである。



これをグラフにしたものが以下の図である。
半径を1とした。













驚くべきは、体積・表面積ともに最大値のある次元が有限であるということだ。
体積は5次元、表面積は7次元で最大になる。



それともう1つ、
違う式なのにもかかわらず、グラフが滑らかである点が気になった。

ここで疑問が沸く。
これはもしかして、1つの式で表すことが可能なのではないか？
そして、n次元を整数から実数に拡張できるのではないか？

つづく。



↓気になったらポチ。お願いしますね

にほんブログ村


にほんブログ村