RMC：今日の、定理。プラス～あまり行われない身近な演算～

四則演算には足し算、引き算、掛け算、割り算のほかに実は
5番目の演算「あまり算」というものがある。


余り計算は割り算のついでのように思われがちだが、れっきとした演算でもある。
たとえば、5を3で割ると0あまり2になるが、この2を直接計算するのが余り算だ。
たとえばこんな風に記述する。

・5≡2(mod3)
・mod(5,3)=2
など。

しかし、あまり算は4則演算の5番目の演算と呼ぶにはあまりにも異質すぎる。

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まず足し算や掛け算のように交換法則が効かない。

足し算だったら5+3も3+5も8だし
掛け算だったら5×3も3×5も15だが

mod(5,3)は2なのに対し、mod(3,5)は3である。(3を5で割ったら0あまり3)


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また、引き算や割り算のように、マイナスの数を使って足し算にしたり、逆数を使って掛け算にしたりすることもできない。

引き算だったら5-3は5+(-3)とすることで2が得られるし
割り算だったら5÷3は5×(1/3)とすることで5/3≒1.6666･･･が得られるが

mod(5,3)にはソレに相当するものがない。(逆元を求められない)

どういうことかというと、

引き算だったら○-3=2の○を計算したかったら2に3を足して5を求められるし
割り算だったら○÷3=5/3の○を計算したかったら5/3に3をかけて5を求められる

が、mod(○,3)=2になるの○は1つとは限らない。
5だけでなく、2も8も11も･･･と無数に存在するからだ。
余談：これは、周期関数の逆関数、アークサインやアークタンジェントや複素数の累乗根などにも言える事である


つまり、余り算というのは演算の際に情報を欠落させてしまうのである。



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また、余り計算の世界の中でも、四則演算が成立してしまうという変わった性質もある。

たとえば足し算5+8をやったとしよう。12だ。
これの5と7と12をそれぞれ3で割ってあまりを求めると、2と1と0だ。
2+1=3だが、3を3で割ったあまりは0
つまり、余り計算をする前とした後の四則演算の結果が一致しているのである。


他の演算についても同様のことが言える。

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掛け算をやってみよう。

5×7=35
5÷3=1あまり2　①
7÷3=2あまり1　②
35÷3=11あまり2　③
この①×②が、2×1=2でちゃんと③になっている。


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引き算もやってみよう

11-7=4
11÷3=3あまり2　①
7÷3=2あまり1　②
4÷3=1あまり1　③
①-②=③：2-1=1

余談：実は、余りを求める前や後の計算結果がマイナスになってしまうこともあるが、それでも一致するようにできていたりする。


7-11=-4
7÷3=2あまり1　①
11÷3=3あまり2　②
①-②：1-2=-1=2
-1÷3=-1あまり2
-4÷3=-2あまり2

マイナスの数を割ったときのあまりは特殊で
四則演算のようにプラスとマイナスがかがみ合わせにならない。
マイナスの数もプラスの数の延長のようにみなすため、
マイナス1を3で割ると0「足りない1」というよりも「-1あまり2」と表現するわけだ。
(-1)×3+2がしっかりと-1になるし
(-2)×3+2もしっかりと-4になる

「足りない」を「あまり」に統一している。



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割り算もやってみよう

20÷5=4
20÷3=6あまり2　①
5÷3=1あまり2　②
4÷3=1あまり1　③
①÷②=③：2/2=1


余談：実は、余りを求める前の計算結果が分数になってしまうときにもしっかりと答えが出せたりする。

7÷20=7/20
7÷3=2あまり1　①
20÷3=6あまり2　②
①÷②=1÷2=2
なぜ1÷2が2になるのかというと
3で割ったあまりの世界では0と1と2しか存在しないため
2を2倍した4を3で割ると1余り1になってしまう。
そのため、
○×2=1の計算は○×2=4と同じ意味となり
○を求めると2になるわけだ。





さらに、余りを求めた後の計算結果が0で割ることになると解が存在しない。

5÷3=5/3
5÷3=1あまり2　①
3÷3=1あまり0　②
①÷②：2÷0→計算不能





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