TMC：今日の、定理。SP

日本のAMラジオの周波数をどう並び替えても9の倍数

例：639、369、963、1440、4140、4410、1467、1674、7641kHzなど


ところで、
3の倍数の見分け方はある数が3の倍数であるとき、各桁の和も3の倍数(3を9に置き換えても同様)
例：7641→7+6+4+1=18が3(あるいは9)の倍数なので、7641も3(あるいは9)の倍数

とか
11の倍数の見分け方はある数が11の倍数であるとき、偶数桁の合計と奇数桁の合計の差も11の倍数
例1：143→1+3-4=0が11の倍数なので、143も11の倍数
例2：704→7+4=11が11の倍数なので143も11の倍数

とか
他にも101や1001の倍数の見分け方なんてのも色々あるんだが

例：446000555→3桁ごとに区切って交互に足したり引いたりし、446-000+555=1001が1001の倍数なので446000555も1001の倍数




別系統で7の倍数と13の倍数の見分け方っていうのも存在する。

7の倍数：下1桁を2倍して下1桁以外から引いて7の倍数になれば、元の数も7の倍数
例：
21→1を2倍して2を引けば0なので7の倍数
119→9を2倍して11を引けば7なので119も7の倍数

13の倍数：下1桁を4倍して下1桁以外に足して13の倍数になれば、元の数も13の倍数
例：
39→9を4倍して3を足せば39なので13の倍数(再帰構造ｗ)
221→1を4倍して22に足せば26なので221も13の倍数



実はコレ、別に素数の倍数限定ってことでもなく
その上2や5のべき乗や3、9、11、101、などあらゆる数で使用可能だったりする。

そのためには何の倍数を見分けたいかによって
何倍して引くとか足すとかそういうルールを変えればよい。
係数を決定するわけだ。

一般化してみると
ある数の下1桁をx、それ以外をyとする
そうするとある数自体は10y+x
と表現される。
これがnの倍数であるとき、任意の整数kを用いて
10y+x=k1n　①
が成り立つ。

一方、見分け方の法則は以下のように一般化される。
a・y+b・x=k2・n　②

a、b、x、y、k、nすべて整数だ。

こうして、①と②の連立方程式を解くと
①を変形したx=k1・n-10yを②にぶち込んだ

a・y+b(k2・n-10y)=k2・n

をnを含むかどうかで分類すると

a・y+b・k2・n-10b・y=k2・n

(a-10b)y=n(k2-bk2)

が成り立つので、ためしに25の倍数で試してみよう。
n=25とすると、(a-10b)が25の倍数になればいいので
一番手っ取り早いのはa-10yが25になればいい
b=-2、a=5が手っ取り早いだろう。

そうすると

25の倍数：下1桁を2倍して下1桁以外を5倍したのから引いて25の倍数になれば、元の数も25の倍数
例：75→5の2倍の10を7の5倍の35から引いた25が25の倍数なので75は25の倍数。

こんな風に何でも作れちゃうんだ。
けど、25の倍数の場合、
75の下1桁が0か5だったら5の倍数は確定なのでいったん5で割った結果を計算し
15が出てくるからこの下1桁も5なので25の倍数確定
とやったほうが断然早い。

つまり、できるけどあんまり流行らないんだね(笑)



たぶん、これの下2桁や下3桁分離バージョンも可能だと思う。




ちなみに、1001というのは偶数桁と奇数桁どちらも1なので11の倍数でもある。
ためしに1001を11で割ると、91になる。
91は実は素数ではなく13×7だったりする。
1を2倍して9から引くと7になるし、1を4倍して9に足すと13になるからやってみよう。

ということは、さっき出した1001の倍数の例、446000555は11と7と13全部の倍数であるので、まあそれぞれの法則が成立しちゃうんだよ。



446000555なんて大きい数が7の倍数かどうかを確かめるためには、
下1桁の5を2倍してそれ以外の44600055から引いた44600045にして、これが7の倍数かどうかを確かめるわけだから、44600045の下1桁の5を2倍してそれ以外の4460004から引いた4459994が7の倍数か確かめればいいわけだから以下同様で芋づる式にｒｙ


まあ暇な人は確かめてみてｗね、効率悪いでしょｗｗｗｗ

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