はじめまして

いらっしゃいませこんにちは、期待値観測するには確率の問題に超絶疎い、量子きのこです



好奇心はあるのにメンタル不足でソレ系の職業に就けなかったので
何か出来ないかと思ったわけじゃないですが
結果的に物理や数学とかの面白さを伝えられたらいいなー
なブログになりました。

このブログをきっかけに、一人でも多くの人が楽しんで物理や数学を学んでくれるとサイワイです。ヽﾟーﾟﾉ




サイエンスファンタジーなアニメの感想も書きます。
あまり伝わらないようなことを毎日ぼちぼちやっています。
伝わらない・人を選ぶ内容なので、ついカッとなって今は公開しています。




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※同姓同名の同一人物「量子きのこ」が、pixivにも生息してます。
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SU(4)の特性方程式の実数解の解析

前回の続きですが、SU(4)に使ったa1,a2,b1,b2,c1,c2,d1,d2,f1,f2,g1,g2,x,y,zにrand()-1/2つまり-1/2～1/2までの一様乱数を入れて様子を見てみました。








4次方程式におけるAは純虚数、Bは実数、B+AとB-Aは複素共役、その3乗根同士も複素共役の関係にいつもなるようで、足すと常に正の実数になるようでした。
A>B≧0ってことですね

つまりそれに2/3を足したCも常に正の実数で、Cのルートも同様でした。
C≧2/3
√C≧√(2/3)

一度複素数になってから実数の範囲に留まるのは興味深いですね。

SU(4)は変数が多すぎて解析できる気がしないのですが、傾向を見るとほとんど1に近い確率でこうなるようです

この傾向まで出せると、ここから先の解析は比較的楽かもしれません

特殊ユニタリSU(4)と4次方程式の4つの実数解

特殊ユニタリ群というのがあってですね、special unitaryの略でSUとよく呼ぶのですが
これは一般にn次の行列のことでして、SU(n)と表記します。


ユニタリ行列は複素行列なのですが、行列式の絶対値を取ると1になるものを言います。
そのうち特殊ユニタリは絶対値を取ることなく行列式そのものが1になるものを言います。


これは数、スカラーでいうところのexp(iθ)　(θは実数)に相当していまして
ユニタリ行列はよく、長さを変えずに向きだけを変える、拡張された回転を意味するといわれます。


具体的には行列の対角化の際に出てくる固有ベクトルを連ねた、随伴行列がユニタリの形をしているのですが、特殊ユニタリであるとは限らないため、特殊ユニタリを作る生成子というものが存在します。


exp(iθ)のθに相当するもので
θが実数なのと同様に、この生成子はエルミート行列です。

実数とエルミート行列、純虚数と歪エルミート行列、長さが1の単位円を描く複素数がユニタリ行列、複素共役がエルミート共役に相当していて

エルミート共役は転置して複素共役を取る変換を意味するので
生成子に虚数単位iを掛け算して行列指数関数に入れると、特殊ユニタリ群が生成できます。


また、エルミート行列の固有値は必ず実数になります。

2次の生成子はパウリ行列、3次の生成子はゲルマン行列として知られています。

固有値を求める方程式を特性方程式と呼びます。
生成子はnの2乗から1引いた数だけあり、それら生成子の線形結合もまたエルミート行列になります。

n=2のパウリ行列SU(2)なら4-1=3個、3次のゲルマン行列SU(3)なら9-1=8個あります。


ではn=4のSU(n)ならどうなるでしょうか。

生成子は16-1=15個あり、以下のようになります。


これらを線形結合する場合は、15個の任意の実係数を15個の生成子に掛け算し、足し合わせます。


対角成分は実数で、行と列を入れ替えると複素共役になります。
また、生成子s8は√3で、s15は√6でそれぞれ割ります。
トレースはゼロです。
複素数になる部分は実数と純虚数のペアをまとめて1つの数にして簡略化し
手書きする際に煩わしいので大文字のYは小文字yを√3で、Zはzを√6でそれぞれ割ると定義しました。
また、可読性をよくするため、P,Q,R,Sという変数にまとめました。

この線形結合した行列をλと置き、その固有値をrと置くと、以下のようになります。

4次以上はサラスの公式が使えないため、余因子展開を用いて展開しました。


どうも一般に、SU(n)の特性方程式はn-1の項がゼロになるらしく
n-1個の変数をn-1次元と考えた時の距離を規格化して1と定義すると、特性方程式のn-2次の係数がマイナス1になるようです。


SU(4)の場合はこうですね


複素数a～fの絶対値の2乗をA～Fとおくと


となります。


そして以下が特性方程式になります。

すべて実係数となり、平方完成、立方完成のノリの4次版のような変換がすでに施されたような式になります。とてもきれいな式で、各変数の出番に対称性があります。

また、この方程式の解はすべて実数となります。エルミート行列の固有値なので。



4次方程式

の解の公式はフェラーリの公式と呼ばれていて、以下のように書けます


ここで、赤い複合、青い複合同士は同順ですが、赤と青の複合は独立です。
また、
で
AとBはそれぞれ

で定義されます。
定義の異なるrとAとBとCが出てきますが、4次方程式とSU(4)とでいったん分けて考えてください。すみません。

調和振動子の昇降演算子

量子力学の本を返したのでこのチャンスを活かして、調和振動子のほうの昇降演算子の、
空で書けるようになった部分を書きます。

まず、調和振動子ポテンシャルのハミルトニアンを無次元化します。
ハミルトニアンの次元はエネルギーなので、
同じくエネルギーの次元を持つ



の2倍でハミルトニアン



を割ります。



hにバーがついたのはプランク定数を2πで割ったディラック定数
kはばね定数、mは質量、xは位置、pは運動量、ωは角振動数で



の関係があるので、無次元化したハミルトニアンは以下のようになります。



そしてこれをガウス素数っぽく半分に因数分解します。


この片方、どっちか忘れましたがプラスがついたほうをaと置くと

マイナスがついたほうはaの複素共役(というかたぶんエルミート共役)a†と書くことができます。


†をどっちのaにつける慣習かは忘れましたが
運動量pにプラスiがついたほうを下降演算子、マイナスiがついたほうを上昇演算子と呼び

波動関数に上昇演算子を左からかけると、量子数1個分だけ固有値がアップした波動関数を
波動関数に下降演算子を左からかけると、量子数1個分だけ固有値がダウンした波動関数を
算出することができます。

ではこの芋づるの端っこはといいますと
一番下の波動関数に下降演算子をかけると恒等的にゼロになることが知られているため、それを利用して微分方程式を解くことで算出できます。


つまり具体的にやってみますと

物理量xとpを微分演算子にして

このように解くことができます。(Cは任意の定数です)

粘性抵抗、慣性抵抗、落下運動、両方、運動方程式4

前回までは、粘性抵抗と慣性抵抗両方が加わった落下運動の運動方程式の解について
粘性抵抗と慣性抵抗片方ずつに係数を制限して、元々どちらかしか考慮していない運動方程式の解と同じになるかを検証していた。また、それぞれの終端速度についても議論していた。


今回はいよいよ、粘性抵抗と慣性抵抗両方を含んだ状態の終端速度について考えてみる。


微分方程式の解は以下のようになるのだったが

    

このとき、時間t→∞の極限で終端速度vはどうなるだろうか。

cothの中身が大きくなると1に収束するので
 

分母分子に をかけて
 

これは、元の微分方程式である
mv'=mg-c1v-c2v^2の加速度(力)v'をv'=0としてvについて解いた2次方程式の解そのものである。
そのうえ、数回前に としたDがまさに判別式であったこともわかるだろう。

また、すべての変数、関数、パラメータが正の実数と仮定すると

2次方程式の判別式Dのルートは必ず正の実数であり
Dのルート√(c1^2+4mgc2)は必ずc1より大きいため、v=-c1-√(c1^2+4mgc2)/(2c2)の解はありえないこともわかる。

粘性抵抗、慣性抵抗、落下運動、両方、運動方程式3

前回はc1≠0、c2=0の条件で解いたが、今度は逆にc1=0、c2≠0の条件で解いてみよう。



となるが、元の運動方程式

 

も解いてみると

 

部分分数分解を用いて

 

(A1+A2)v=0

からA1=-A2

 

 


初期条件t=0でv=0を与えるとG2=-1となって


ここで、式を整理してvの式にする
両辺にv+√(mg/c2)をかけると
 
ここで、右辺の分母分子にをかけると

これは双曲線関数ハイパボリックタンジェントなので


を得、見事に両者は一致する。


また、終端速度については

t→∞でv=√(mg/c2)になるが、

これについても元の運動方程式

mv'=mg-c2v^2のv'=0の条件で解くことで、単なる代数方程式として
終端速度v=√(mg/c2)を簡単に得ることができる。

粘性抵抗、慣性抵抗、落下運動、両方、運動方程式2

前回、粘性抵抗と慣性抵抗両方を受ける落下運動について運動方程式を解いた。

以下のような結果になったが
 


G=m/c2、B=c1/c2、A=mg/c2

このようにB,A,G,Dを定義したことを踏まえて、元の格好に戻すと

 

このような姿になる。

ここで、c1やc2をそれぞれゼロとしたとき、

元の微分方程式の解と一致しているかどうかを確かめてみよう。

c1≠0、c2=0の場合は

 

となり、

運動方程式

 

の解と一致しているはずだ。

早速解いてみると

 

 

 

 

初期条件としてt=0でv=0を与えると任意の定数G2=-mg/c1となるので

 

 

 

一方、 こちらはcothの中身を展開し

大きい分母の分母分子にexp(+)-exp(-)をかけると


となって見事一致する。

ちなみに、終端速度もちゃんと一致していることを確かめておこう。

t→∞でのvはv→mg/c1に収束するが

これは実は、元の運動方程式

mv'=mg-c1vのv'=0の条件で解けば、微分方程式ではなくただの代数方程式として
0=mg-c1v
c1v=mg
v=mg/c1

と、簡単に解けてしまう。

粘性抵抗、慣性抵抗、落下運動、両方、運動方程式

質量をm、重力加速度をg、速度v、時間t
速度の1乗に比例する空気抵抗の係数をc1、速度の2乗に比例する空気抵抗の係数をc2とすると

運動方程式は以下のように書ける。
速度は高さy方向の下向きをプラスに定義する。

 

ここで、v^2の係数を1にしたいので、両辺を-c2で割ると

 

ここで、式の簡単化のためG=m/c2、B=c1/c2、A=mg/c2とすると

 

dvの分母に右辺を持ってくると以下のようになる。

 

両辺を積分してvの式にすると、速度vについての運動が解けるのだが、vの2乗が邪魔でうまく積分できないので、部分分数分解を用いる。


 

という恒等式を作り、A1、A2、Dがいくつになるのか定めることにする。

まず、 になるようにDを定めたい。

 

なので、 であることがわかる。なぜいきなりDという文字を仮定したのかはあとでわかるが、これは2次方程式の判別式Dの意味である。


次にA1とA2を定める。
 という恒等式からA1とA2を定めたいので

v(A1+A2)=0
からA1=-A2が導かれるので
B/2(A1+A2)もゼロである。

D(A1-A2)=1にA1=-A2を大入して、

 を得る。


そうすると元の微分方程式は

 
なので積分ができ

 

となる。G2は任意の積分定数。

対数同士の引き算は対数の中の割り算として引っ込めることができるため

 

両辺に2Dを掛け算して
 
(ここでG2はまだ任意の定数なので、2DG2を新たなG2として上書きする)


両辺の指数をとって

 
(ここでもexp(G2)を新たなG2として上書きしている)

左辺の分母分子に2を掛け算してやると
 


初期条件
t=0でv=0を与えて任意の定数G2を定める。

 

微分方程式の解は
 

となる。


これをvの式に直す。
両辺に(B+2D)と(2v+B+2D)を掛け算する。

 

展開すると


全部左辺に移行し、vを含むか含まないかで整理すると






  

 

ここで1/(2v)の式に着目してみることにする。




第1項は約分できるので
 

問題は第2項だが

の分母分子にexp(x)を掛け算すると

となって、これは双曲線関数ハイパボリックタンジェントtanhの逆数ハイパボリックコタンジェントcothであることがわかる。
 





ここでようやく2vの式に戻すと

トンネル障壁にパルス波をぶち込む

Excelでマイクラ風フルル

2次元井戸型ポテンシャル。解析解につきこのような形のポテンシャルに

4次元空間＋1次元時間状態図の熱力学「カルノーサイクル」

3Dカルノーサイクル状態図(Excelおもちゃ)

シークバーで見れるバージョンはpixivにあります。


べき乗関数の宝庫である熱力学の状態図、
両対数方眼紙でべき乗関数は直線になりますが、
変数が3つ以上あるので、とりあえずエントロピーを除いて、3D対数ブロックにしたらどうなるか試してみました。

下にDL用Excelファイル(マクロなし)へのリンクを貼りましたので、自粛期間中に暇だったら遊んでみてください。(いつもながら対象年齢高めですみません)
シート保護の関係でサンプルgif動画と異なる表示がされています。




DLしたら、「編集を可能にする」にしてからご使用ください。

3DカルノーサイクルExcelファイル（ダウンロード）

身勝手の極意～井戸型ポテンシャル編～

昨日布団に入ってから思いついたことを今朝起きた直後に思い出したのでメモしておきます。


おとといのブログの、さらに簡略版を思いつきました。
量子数が偶数の場合と奇数の場合(波動関数が奇関数と偶関数)を場合分けしながらいっぺんに計算する方法です


脳に過剰な負荷がかかるため、あまりお勧めはしません。笑

有限深さ井戸型ポテンシャルの波動方程式を、対称性を用いて簡易に解く

有限深さ井戸型ポテンシャルは以前解いてブログに載せたのですが
そのときは力技で解いていました。

もし、偶数番目の量子数で波動関数が奇関数、奇数番目の量子数で偶関数になるとわかっているなら、どれくらい簡略化されるのか
これについてまだブログには載せていませんでした。



幅2aの井戸型ポテンシャルの、中のポテンシャルはV=0、外のポテンシャルはV=V0とし、
井戸の中心をx=0とします。(-a≦x≦a)


x<0の場合は、偶関数なら波動関数f(-x)=f(x)とし、奇関数ならf(-x)=-f(x)とするわけです。


境界条件はx=±aでf(±a)とその微分f'(±a)が連続であることですが
x<0を考慮しなくて済むので、

4本の連立方程式が2本まで簡略化できます。
つまり、4次ではなく2次の行列方程式を解けばいいだけになるので、かなり楽です。

波数をk、積分定数をA,Bとして(iは虚数単位)
f(x)=Aexp(ikx)+Bexp(-ikx)

という波動関数の境界条件を解けばいいのですが、
左右対称か左右反対称どちらかの解だけになるので、波動関数fは三角関数
井戸の中はf(x)=Asinkxかf(x)=Bcoskxのどちらかだけになりますし、
井戸の外はf(x)=Cexp(-k1x)になります。


量子数が奇数の場合、波動関数は偶関数なので
f(a)=Bcoska=Cexp(-k1a)
f'(a)=-kBsinka=-k1Cexp(-k1a)

量子数が偶数の場合、波動関数は奇関数なので
f(a)=Asinka=Cexp(-k1a)
f'(a)=kAcoska=-k1Cexp(-k1a)

これを解けばいいだけになります。



太線から下は、無限深さ井戸型ポテンシャルへの近似で、検算です。
k1=∞になるので
n番目の量子数がそのまま量子数nとなります。
量子数nが偶数だと波動関数が奇関数になり
量子数nが奇数だと波動関数が偶関数になることが確認できました