めまいカットの公式

僕はよく、Excelで簡易3Dビューアを作る際に

2Dグラフに
横=A*x/(z+z0)、
縦=A*y/(z+z0)

というアルゴリズムで遠近法にしてるんですけど

Aとz0というのが、物理的な意味としては
Aがカメラのズーム倍率で、z0がカメラがバックした位置なわけです。


そこで、バックしながらズームすると、ヒッチコックが考案したとされる「めまいカット」になるわけですが

奥行きzの対象物の大きさを固定したまま、Aとz0を連動して動かしたいですよね。


そこで、横あるいは縦を、z0で微分して、ゼロになる条件を探すわけです。
(縦の式は同じなので略します)



展開して整理したら、こんな微分方程式ができますよね。

じゃあこれを解きます。
任意の定数をCとして

このような式が導かれました。


では実装してみましょう。
x,y,zが-2から2までの範囲に、1ずつの目盛で格子を作り
その中に螺旋を入れてみました。


横の右向きがプラスx、縦の上向きがプラスy、手前から奥がプラスzです。


z=0を固定対象とすると、このように、手前の物体と奥の物体が、z=0の平面に双方近づいたり遠ざかったりします。

z=-2だと、奥の物体が一方的に近づいたり遠ざかったりし


逆にz=2だと、手前の物体しかないので、手前の物体だけが近づいたり遠ざかったりします。


z=-1だと、手前より奥の物体の方が少し多い感じで、近づいたり遠ざかったりします。