ゲルマン行列の末っ子を√3で割る理由

スイマセンおまたせして。これの続きです。


まず、ゲルマン行列っちゅうのはこんなやつなんです。

これがそっくりそのまま8種類のグルーオンに相当するわけなんですが
この順番の書き方には割りと理由があるようでして、パウリ行列に遡るようなんですわ

というのも、パウリ行列っちゅうのがこんなヤツでして

パウリ行列とゲルマン行列の3番目までを比べると

こんな風にマトリョーシカ構造になってるんですわ

1つ目と2つ目は実数を純虚数に入れ替えただけ(ただしエルミート)って感じの関係があるので
残りの四隅についても同様のことをすると、λ4～7が埋まるわけです。
まず派生元で最初の部分を埋めるわけですね。

そして、最後に末っ子を付け加えるわけですが
どうして√3で割るのか。


これは、グルーオンがクォークの色を交換するモデルを考えてみるとわかりやすいです。

英語のgluonのwikiを見ると、グルーオン8種類の内訳が書いてあります。

スピンのように、「波動関数にはできないがなんだかよくわからない3つワンセットの量子数がある」としましょう。

これが色電荷とか色荷とか言われるやつなんですが
まあそうですね、数学でいうところの1の3乗根(複素)の親戚みたいなもんです
電気工学では三相交流みたいなもんでしょうか。



ゲルマン行列がそのままグルーオンに対応するので
順番もそのままこんな感じになります。
 


上が行列方式、下が波動関数？方式の記述といった感じでしょうか


たとえば1つ目、λ1だったら

こうなります。赤だったら青に、青だったら赤に、というグルーオンが重ね合わされているわけで、


無理やり波動関数っぽく書くと、赤と反青、青と反赤のグルーオンが重ね合わされている
と解釈できるわけです。


ここで、分母の√2に注目してみましょう。
どうして√2で割っているのかというと
赤を青にする存在確率と、青を赤にする存在確率が半々でありうるからで
波動関数というものは元々、絶対値の2乗を取ると存在確率になるような代物でしたので
全部の状態の絶対値の2乗を足すと存在確率100パーセントになるように規格化しますと
分母に√2がくるわけです。


電気工学でいうところの、rms(2乗平均ルート)つまり実効値ですね。
家庭用に分配されている電源の電圧は100Vと書いておきながら
ピークtoピークは141Vの2倍なんです。
これは、電圧の2乗に比例する電力やエネルギーで均して評価したいためでしたね。



なぜ、行列方式ではルート2がつかないのかはよくわかりませんが、
1色加えて1色消すところと関連している気がします。
だとすると、n行n列の特殊ユニタリ郡全般においても、行列表記と波動関数表記の間には、フェルマーやピタゴラス的に、3でも4でもなく、ルート2倍が立ちはだかると推測されます。


たとえば5行5列(5色同士の交換)の特殊ユニタリ群の生成子の末っ子を考えてみますと

このようなものが推測されます。ただしトレースがゼロ。

これを行列方式ではなく波動関数方式で書きますと

こんな風になると推測されますが、

すべての状態の絶対値の2乗を足しあわせて1にするためには

上の行列表記では

 
↑こう、下の波動関数表記では


 
↑このような規格化を行ってnを決定しているのだと推測されるわけです。


したがって、n×n全般における特殊ユニタリ群の生成子の末っ子の分母は

こうなるんじゃないかなあと。


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