トンネル効果の条件を与える数式

exp(ｨヵ)
昨日の式はですね、「トンネル効果」といって量子力学によく出てくる現象の式なんですが

以下の図のように、粒子の波が障壁をトンネルする場合

たとえばクーロンポテンシャルの分だけエネルギーを持ってない粒子がうっかりポテンシャルを抜け出てしまうとしたら、どんな確率なのか

とかいうものを計算するものでして
トンネル障壁、つまりポテンシャルの壁の入口と出口とで
粒子の存在確率などの状態を表す波動関数の、位置による0階および1階微分がゼロで
なめらかにつながってるための条件として
4本の連立方程式が導出されるのです。
(基本的に量子力学的な波は壁に少し染み込みます)

なんで3階以上の微分がどうでもいいかは知りません。

入口の座標をゼロとした1次元のx座標で考えますと
入口より左(マイナスのx)の領域1では

波動関数ψ1は
入射波と反射波が重ね合わされていると考えます。

自由粒子のシュレディンガー方程式を解いた

ψ1=exp(ikx)+Sexp(-ikx)　1項：入射波、2項：反射波
ただしħk=√(2mE)　mは粒子の質量、Eはエネルギー、kは波数、ħはディラック定数
iは虚数単位
S→これから求めるものです

障壁の中、つまりトンネルする領域、領域2では

ψ2=Aexp(αx)+Bexp(-αx)
ħα=√(2m(V-E))　Vはトンネル障壁のポテンシャルの高さ
Aは増幅？する係数、Bは減衰する係数→これから求めるものです


トンネルの向こう側の領域3では

ψ3=Texp(ikx)
T→これから求めるものです

とします。領域3にて、進行する波だけで反射波がないのは、向こう側に反射させるなんらかもないからです


また、領域1で進行波に係数をつけなかったのはなぜかというと
連立方程式が4つしかないのに、元を5つになんかできるか！という意味合いで、
領域1での進行波を基礎に、あとは比率でなんとかやってくれということです。


この3領域の波動関数ψとその微分ψ'(dψ/dx)が、入口x=0と出口x=aで一致していればOKです。
ψ1(入口)=ψ2(入口)
ψ'1(入口)=ψ'2(入口)
ψ3(出口)=ψ2(出口)
ψ'3(出口)=ψ'2(出口)


たとえば4本目を具体的に書きますと

ψ'3(x=a)=ikTexp(ika)=α(Aexp(αa)-Bexp(-αa))=ψ'2(x=a)

行列っぽく書くと
(0、αexp(αa)、-αexp(-αa)、-ikexp(ika))×t(S、A、B、T)=0
こんなかんじです

この4本の式が昨日の行列方程式につながります。

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