フーコーの振り子の差分方程式と体の拡大？

昨日の寝る前の風呂とかで思いついて、今日具体的に計算例を挙げてブログにしようと思ったものの
いざ具体的にしてみると、一度やった計算でもあるし、なんかつまんねーなーって思ったので
上げるのはやめました。

口頭でやります。
バネの運動方程式mx''=-kxってあるじゃないですか。

このxの二階微分x''を(x2-2x1+x0)/dt^2ってやって、有限のdtでもってx2を求めるのが差分法なんですが(-kxは-kx1とします)


これを解析的に解いた際、覚えてますか？「一般的に複素解になる」って書いてあったの。

一般解が、特殊解x(t)=exp(±iwt)になるので、その±2種類の線形結合
x(t)=A0exp(iwt)+B0exp(-iwt)
になるんだけども

xが実数になるようにAとBを調整する。(AとBは複素共役になる)

x=A1coswt+B1sinwt=Ccos(wt-D)

ってなるじゃないすか。


だから、数値計算する際も、実数解が出るとは限らない・・・と思いきや
初期値x0と初速度v0を実数にとどめている場合、解xは時々刻々と実数を吐き出し続けるんですよ
まあ実数の演算しか使ってないので当たり前っちゃ当たり前なんですが。

差分法に用いる
v0=(x1-x0)/dt→x1=v0*dt+x0
x2=(2-(w*dt)^2)x1-x0

の変形を、たとえばExcelの複素関数に置き換えて
x1=imsum(improduct(v0,dt),x0)
x2=imsub(improduct(2-(w*dt)^2,x1),x0)

としたところで、x0とv0が実数なら、解xは時々刻々と実数しか返しません。


ところが、ごくわずかでも複素数になったら、たとえばx0=1+0.0001iとかにひとたびなれば
解はたちどころに複素数を返してきます。



これ、以前「数学ガール」で読んだ、「体の拡大」を思い出させるんですよ。
たった一滴の純虚数が、またたくまにブラックコーヒーをカフェオレにしちゃうんです

概念が合ってるかどうかはさておきですよ。




できた図があまりにも単調だったんで萎えたんですが
たとえばこの振れの偏角を、少しずつ回転させたらどうなるだろう？
と思いまして
そりゃフーコーの振り子みたいだな、と思いまして。

そういえば以前、気象の勉強で地衡風の計算をしていたときに、まるで電気工学の交流理論で時間にフェーザーを使う如く、空間にも便宜的に複素数を導入したことを思い出しましてね

複素数の演算って、ベクトル解析よりシンプルなんですよ
少なくとも、「場合によっては割り算が定義できない」なんてことはないですしねｗ


バネ振り子は想像しづらいかもしれませんが単振り子が実数からちょっと純虚数を混ぜて、
しばらくしたら純虚数だけの振れ幅になって
また実数のみの振れに戻ってくる
っていうのはなかなか面白いかもしれません

といいつつ、出来上がったのをアップしないんですけどね


偏光みたいに、円偏光したりする振り子も見れますよ～
アップしないんですけどね～


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フーコーの振子みたいの



円偏光っぽくすることもできるよ！


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