エディントンのイプシロンとアインシュタインの縮約とベクトル積

放送大学「場と時間空間の物理」でテンソルを教えていたので見ていました。


ベクトル積ってのがどうもエディントンのイプシロンを使って高階にも拡張可能なようで
まあ高階に行くにしたがって必然的にイメージしづらくなるのでイメージに頼らないで進めていったほうがいいんだとは思うんですが

でもまあせめて0階から3階までのテンソルはイメージしてみてもいいよねって感じで。


最初は右手系やら右ねじやらそんな感じで、行列みたいに中身を演算する順番に偏りが生じるんだろうなと信じて疑わなかったんですが
どうもそうでもないのかもしれません。

3次元のベクトルaとベクトルbとのベクトル積は

i,j,kを1～3の整数として
(a×b)i=εijk・aj・bk

という風にかけるんだそうです。

ここで、εはエディントンのイプシロンとよばれるもので
3つの添え字が順方向(ijk=123、231、312)だったらプラス
逆方向(ijk=321、213、132)だったらマイナスの値をとり
それ以外は全部ゼロとし

添え字が重複した変数は和をとる
という「アインシュタインの縮約記法」を用いることとします。

つまり、具体的にx軸方向だけ例にあげますと

(a×b)1=ε1ij・aj・bk

=ε111・a1・b1+ε112・a1・b2+ε113・a1・b3
+ε121・a2・b1+ε122・a2・b2+ε123・a2・b3
+ε131・a3・b1+ε132・a3・b2+ε133・a3・b3

=0・a1・b1+0・a1・b2+0・a1・b3
+0・a1・b1+0・a2・b2+1・a2・b3
+0・a3・b1-1・a3・b2+0・a3・b3

=a2・b3-a3・b2(=aybz-azby)

となるわけです。ほらベクトル積じゃん？


このエディントンのイプシロンが3階のテンソルなのをいいことに
ちょっとテンソルの掛け算をイメージしてみようかなと思ったのが以下の図です。


 

図のイメージとしましては
abの赤い面が青い物体εに近づいて行って、εに3回作用して結果棒の中身3つを決定する感じでしょうか。
このとき、面の中身は要素ごとに掛け算されて、全部和がとられて面ごとに1つの要素になります。

このへんが行列と全然違うんですよ。
正直まだ戸惑ってます。

と同時に、アインシュタインが「生涯最大のなんちゃら」と称賛したのまんざら過大評価ではないなと思いました。

シュタインズ3大大げさってありますよね(大が2個ついちゃってますけどね)

・数学最大の発見(縮約記法)
・人生最大の誤算(宇宙項)
・人生最大の発見(特殊と？一般 相対性原理)
・宇宙最強のパワー(利率)



エディントンのイプシロン(3F)の中身にも早々に手を出したい・・・
あの傾いた六角形、やっぱり自分で表現したいぜよぅ










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