AKB：数列の級数の係数の数列を漸化式から一般式にできないかシリーズパート２

ここにとある数列がある

１、２、３、４、５、６、７、８、９、１０･･･

総和をしたくなる欲望はそこに数列があるからだとよく言われる話だが
この数列の１０番目までの和は５５

計算を簡単にするコツは「両端から足していく」こと。

１１になるペアが５つあるので答えは５５




しかし、これを簡単に計算する方法はもう１つある


n番目の数列をanとすると、この数列anの一般式は

an=nというごく単純な規則で表せる。

そして、この数列の１番目からｎ番目までの和は

総和の記号「Σ」を使って

Σ(k)　(k：１～ｎ)と表記できる。

このような「数列の和」を「級数」とよぶ。


ここで、Σ(k^2) (k:1～n)=1^2+2^2+3^2+･･･+n^2　①

だが　Σ((k+1)^2) (k:同様)=2^2+3^2+4^2+･･･+(n+1)^2　②

となるので、①－②を計算してみると

Σ((k+1)^2)-Σ(k^2)=(n+1)^2-1

となるので、(k+1)^2と(n+1)^2を展開して、総和に分配法則を適用し、

Σ(1)=nであることを考慮すると

2Σ(k)+n=n^2+2n　なので、

Σ(k)の式に直すと

Σ(k)=n(n+1)/2

となって、どこかで見慣れた総和の式が導出できる。

n=10だったら55=10・11/2ということだ。



鶏と卵のような話になるが
総和Σというのは積分∫とよく似ている。

xを積分するとx^2/2が、x^2を積分するとx^3/3が出るように

Σ(k)にはkの二次の項が、Σ(k^2)にはkの三次の項が出ることが予想できるだろう。

つまり、Σ(k^m)を簡単に計算したければ、nのm+1乗に関する式を用いてアプローチするとよさそう、と推測できる。


では実際にΣ(k^2)を求めてみよう。必要なのはおそらくn^3に関する式だから

Σ(k^3)とΣ((k+1)^3)を計算して端っこ同士を残すように差っぴけばいい

Σ(k^3) =1^3+2^3+3^3+･･･+n^3 ①

Σ((k+1)^3) =2^3+3^3+･･･+(n+1)^3　②

の②－①を行うと

3Σ(k^2)+3Σ(k)+n=n^3+3n^2+3n

になるので、先ほどのΣ(k)の結果を使ってΣ(k^2)の式に変形すると

Σ(k^2)=(n^3+3n^2+3n-3(n^2+n)/2-n)/3

=n(2n^2+3n+1)/6

と、導出できるのだが、

m次の計算をする際に、m-1次の式が出ていることが条件となるので、

これでは一般式というより漸化式である。

一般式なのに漸化式なのである。

どういうことかというと、nに関しては一般式、mに関しては漸化式であるわけだ。

ところで、2n^2+3n+1は因数分解できないだろうか？

なんとなくたすきがけをしなきゃいけない感じがするが

勘とセンスが求められるたすきがけは僕は苦手なので連立方程式を立てて解くことにする。

(an+b)(cn+d)=acn^2+(ad+bc)n+bd=2n^2+3n+1

なのだから、

ac=2
bd=1
ad+bc=3

が成り立つ4元2次くらいの連立方程式だ。何次元なんですか＞＜

しかし4元にしては式が3本しかないので固有値問題を解くのかといわれると1次の連立方程式でもないので行列や行列式を使うわけにもいかず、あてずっぽう方式になってしまう。

a=1
b=d=1
c=2
を入れたらたまたま成立したのでコレにする。

つまり、Σ(k^2)=n(n+1)(2n+1)/6　だったということだ。

こうすることで、次数を追ったときに傾向が見やすくなるかもしれない。
でもめんどくさいので今日はやらない

いつかやるよ、いつか！
 

にほんブログ村