MO：薀蓄一発芸「ターミナルベロシティ」(磁気光学効果)

暇だから某所になんとなく書いたけど、せっかくなので残しておこうかなと。



速度の2乗に比例する空気抵抗を受けながら落下する運動の運動方程式

mdv/dt=mg-cv²

(微分方程式)を2時間以内に解きます！
m：質点の質量、定数
g：重力加速度、定数
c：速度の2乗に比例する空気抵抗の係数、形状に依存する定数
v：落下速度、下に向かってプラスとする、関数
t：落下からの経過時間、変数
d/dt：時間微分
xⁿ：xのn乗

v²の係数が邪魔なので移項する
(m/c)dv/dt=mg/c-v²
v²のマイナス符号が邪魔なので符号を反転する
-(m/c)dv/dt=-mg/c+v²
積分しやすいように移項する
dv/(v²-mg/c)=-(c/m)dt

右辺を積分する
右辺＝-(c/m)t+A
Aは積分定数

左辺を積分したいが、このままではできないので
1/(v²-mg/c)をB/(v+√(mg/c))+D/(v-√(mg/c))　①
の形にしたい
BとDを決定する
①式を通分すると
Bv-B√(mg/c)+Dv+D√(mg/c)/(v²-mg/c)になり
この分子を1と等しくしたいので
Bv+Dv=0
-B√(mg/c)+D√(mg/c)=1
の連立方程式を解く
vが0でないとすると1つ目の式から
B=-Dなので
2D=-2B=√(c/mg)
である。

つまり
1/(v²-mg/c)=(√(c/mg))/2×(1/(v-√(mg/c))-1/(v+√(mg/c))
を速度vで積分すればよいので
(√(c/mg))/2×(ln(v-√(mg/c))-ln(v+√(mg/c))
=(√(c/mg))/2×((ln(v-√(mg/c))/(v+√(mg/c)))
になる。
lnはe≒2.718を底とした対数(自然対数)

積分定数は右辺で1つ設けたのでここでは不要。

左辺と右辺をつなぐと
(√(c/mg))/2×(ln((v-√(mg/c))/(v+√(mg/c)))=-(c/m)t+A
(√(c/mg))/2を移項して
(ln(v-√(mg/c))/(v+√(mg/c))=-2t√(cg/m)+A
両辺のeによる指数を取って
(v-√(mg/c))/(v+√(mg/c))=Ae^-2t√(cg/m)

ここで初期条件から積分定数Aを決定しておく。
t=0で質点が落下し始めるのだからこのときの速度v=0であるので
t=0とv=0を代入すると
-1=A
なので
(v-√(mg/c))/(v+√(mg/c))=-e^-2t√(cg/m)
これをさらにvをtで表すように整理すると
(v-√(mg/c))=-(v+√(mg/c))e^-2t√(cg/m)
v-√(mg/c)=-ve^^-2t√(cg/m)-√(mg/c)e^-2t√(cg/m)
v(1+e^-2t√(cg/m))=√(mg/c)(1-e^-2t√(cg/m))
v=√(mg/c)(1-e^-2t√(cg/m))/(1+e^-2t√(cg/m))
v=√(mg/c)(e^t√(cg/m)-e^-t√(cg/m))/(e^t√(cg/m)+e^-t√(cg/m))
v=√(mg/c)sinh(t√(cg/m))/cosh(t√(cg/m))

v=√(mg/c)tanh(t√(cg/m))

が答え。

tanhはハイパボリックタンジェント関数というもので、関数の中身が無限大になると関数が1に漸近していく関数であり、(-∞では-1に漸近す)
関数の中身が小さいときは比例に近似できる関数であるので、

空気抵抗cが質量mに対して小さい場合は比較的長く「時間に比例して速度を増していく」が、空気抵抗が質量mに対して大きい場合は比較的短い間に√(mg/c)で与えられる最終速度に落ち着く
ということを意味している。

 

（参考）
ハイパボリックタンジェントはハイパボリックサインsinhをハイパボリックコサインcoshで割ったもので
ハイパボリックサインとハイパボリックコサインの間には
e^x=coshx+sinhx
という、
通常の三角関数sin、cosにおけるオイラーの式
e^ix=cosx+isinx
に類似する関係が成り立つ(iは2乗すると-1になる数)
sinh、cosh、tanhを合わせて双曲線関数と呼んでいる。

coshxは(e^x+e^-x)/2で定義され
sinh(x)は(e^x-e^-x)/2で定義されるので
関数の中身が大きくなると、どちらも第1項目が支配的となり、ほぼ単純な指数関数に近似できる。
よって、sinh/coshであるtanhは1にジェンキンするわけである。
また、coshは偶関数(グラフにするとy軸において線対称)、sinhは奇関数(グラフにすると原点対称)であるので、偶関数を奇関数で割ったtanhは奇関数となり、原点対称である。





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