トンネル効果の解析解を計算する方法

係数が出たので、この係数を波動関数Ψにまとめていきます。

と、その前に、kとk1が、それぞれ
 (U0はxが0からbまでの間のトンネル障壁の高さです)
なので、これを当てはめていきますが、律儀にプランク定数や電子の質量、電子の電荷(エレクトロンボルトのジュール換算)などを当てはめていかなくても大丈夫です。

というより、双曲線関数の中身にそんな桁数の数値を入れたら、途中で破たんしてしまうかもしれないので、kbやk1bの掛け算として、三角関数や双曲線関数、指数関数などに入る場合に適度な大きさの数値になるように、調整します。
物理定数は無視してすべて1にし、
k=sqrt(E)、k1=sqrt(U0-E)としています。

このくらいの数値群であれば問題ありません

なお、この段階ではまだ解析解が、E>U0に対応していないので、こうならないような条件で変移させます。

そうして得られた係数と、そこまでの途中計算が、以下のようになります。  

Excelでの複素数計算は、結果が文字列扱いになるので多少見栄えが悪いです。
たとえばk1+ikだったらcomplex(k1,k)のように、
k1-ikだったらcomplex(k1,-k)のように打ち込みまして

分母のように複雑な数式になる場合は
実部と虚部を実数としてあらかじめ計算しておいてから、分母=complex(実部,虚部)などとすればいいかと思います。
また、B,C,D,Fは先に分子を計算しておくとよいでしょう。
B分子=COMPLEX(0,-(k1^2+k^2)*SINH(k1*b))
C分子=IMPRODUCT((k1+ik),k*EXP(-k1*b))
D分子=IMPRODUCT((k1-ik),k*EXP(k1*b))
F分子=IMPRODUCT(exp(-ikb),2*k*k1)
を計算しますが
exp(-ikb)もあらかじめ、IMEXP(COMPLEX(0,-k*b))

として計算しておけばよいでしょう。
検算用に、imabs(B)^2+imabs(F)^2=1となるのを確認してみるといいでしょう。
極限で自由粒子や、完全反射なども検算のネタになるかと思いますので
U0>>Eにしたり、b=0にしてみたりするのもアリです
bを大きくして、透過波がほぼゼロになるのを確認するのもいいですね。

そうしてから、B,C,D,Fそれぞれを、imdiv(B,C,D,F分子,分母)といった風に計算するとミスも減るかと思います。

そのようにして得たB,C,D,Fを、いよいよ波動関数として実装させます。

exp(ikx)では、imexp(complex(0,kx))といった計算をやっています。
隣の列の、Bexp(-ikx)ではimproduct(B,imexp(complex(0,-kx)))といった計算を行っています。
ここで、Bとkに絶対参照を施すのを忘れずに

Cexpk1xのC以外は実数なので
improduct(C,exp(k1*x))　(Cとk1に絶対参照)
とやっていて、imexpの代わりに実数のみのexpを用いて、計算を簡略化してます
Dexp(-k1x)も同様にimproduct(D,exp(-k1*x))とやっています。

Fexp(ikx)=improduct(F,imexp(complex(0,k*x)))です。

Ψ1=imsum(1列目,Bの列)
Ψ2=imsum(Cの列,Dの列)
Ψ3=Fの列

とやっています。
x=0でΨ1=Ψ2
x=bでΨ2=Ψ3となっていることを確認して

ΨではIF(x<0,Ψ1,IF(x<b,Ψ2,Ψ3))
とやっています。(bの絶対参照)


これで、解析解を得ることができました。
横軸がxで縦軸がReΨとImΨのグラフを描いて確認すると、ちゃんと連続性が保たれていることがわかるかと思います。

実部・虚部ともに、0階微分も1階微分も連続になっていますね。
ちなみに、文字列として出力された複素数の実部と虚部を取りだすには
imreal(複素数)とimaginary(複素数)を用います。

この一連の複素数用の関数群は、アドオンで追加できるんだったかと思います
ユーザー定義関数で作っているわけではありません。



つづく