ちゃんと五目ゲルマン行列可視化器!!

ほら(delボタン押すたびに再計算が)走ってるよ～
(固有値方程式の行列式が)手を伸ばしてるよ～
とりあえずこうしておけば、よくあるBLOGっぽいでしょ！？

(過去を)振り返ってみた～
(行列指数関数のリベンジに)向き合って立ってみた～
そうこうしているうちに(人生の)尺がなくなっちゃう～

制作委員会名が出るから宇宙征服ｩ！ちたんだ！！


左2列はU=exp{iΣ(σnθn)}とU=Πexp(iσnθn)の固有値の位置を示す図、
上段はexp{iΣ(σnθn)}
下段はΠexp(iσnθn)
左1列は自由度を8つフルに使った図で、右2列は自由度を3つに絞った図
右1列はその3つに絞った自由度で3次元回転を行ってみた図になっております。


固有値の図は円が複素単位円で
円の上でこっち向いてる矢印が実軸
横向いてる矢印が虚軸、
縦になっているのがλE-Uの行列式の絶対値||||の軸となっております。
すなわち、最大3つある零点(複素単位円に接しているポイント)がユニタリ行列の固有値となります。
(λは複素単位円上のてさぐれ固有値、Eは単位行列)


単位円上で動いている点たちは3つあるいは8つの自由度θの値です。



左上の黄色い矢印が示すように、
2行2列のパウリ行列ではなく、3行3列のゲルマン行列の自由度8つをフルに使うことで、
なぜだかわからないけどユニタリ行列の固有値(複素単位円上にある行列式の零点)が実軸対称ではなくなります。

これがいわゆるCP対称性の破れと関係してるのかどうかはしらん？
 
 
 
また、
自由度を適当な3つ(θ2、θ5、θ7)に絞ることで、3次元の回転に相当させることができます。
exp{iΣ(σnθn)}はロドリゲスの回転公式(パウリ行列でクォータニオンに相当させることも可能)
Πexp(iσnθn)は3軸の回転行列の積と同等になります。

Σのほうが任意の1軸回転であるのに対し
Πは軸がブレていることがわかるかと思います

こちらソース(エクセルファイル)となっておりまーす。特にお好みで数値いじんなくてもdel押しとけば動きますから！
よかったら遊んでね！チャリンチャリンチャリン(音はしない)



詳しくはここのブログの、カテゴリ「パウリ行列指数関数」を参照ください

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