こはるん「低みを目指して！」

トリボナッチ以上のボナッチ系数列は非対称なんですが

2次行列以下のフィボナッチなどは実対称行列(エルミート)なので、固有値は実数になります。


特に、

の漸化式に従うモノボナッチ数列の場合は


このようになるため、固有値を求めるための特性方程式は
λ-1=0となり、λは正の実数λ=1ひとつだけになります。

固有ベクトルは
λ=1を代入した

 
1行の固有ベクトルvが1列だけあればいいので、規格化してv=1となります。

この逆行列は と、ユニタリ性(直交行列)もあるので
の対角化は


となって、モノボッチ数列の一般式は常に1だということがわかります。

もちろん、たった1つの初期値F0が1の場合の話です。
初期値が任意の値F0だった場合はすべてFn=F0となります。