備忘録：ペンローズ図について

これはシュバルツシルトブラックホールにおけるペンローズダイヤグラムらしいです。
ほかのブラックホールではそれぞれ少しずつ図が違うみたいです。

右側の青いひし形の中身を我々の宇宙全体とすると、左側の緑色のひし形はもう1つの宇宙全体です。

白い領域はホワイトホール、白から青や緑へは一方通行で、白に戻ることはできないという意味で
矢印つきの線で描かれています。


同様に、黒い領域はブラックホールの事象の地平面の内部です。

ギザギザはそれぞれ、ホワイトホールと ブラックホールの特異点らしいです。

青の領域の中心、(t,r)=(0,0)が原点(T,R)=(0,0)です。

t,rとT,Rの変換則はt±r=tan(T±R)

(t±r)/2=tan(T±R)という流派もあるみたいですが、式がより綺麗になるほうを選びました。
2で割らないとと、端っこが±πではなく±π/2となります。


t=r=0だったらT=R=0なのはいうまでもないでしょう。っていうかさっき言いましたね。
イマ・ココです。

無限の未来t=∞、ココr=0だったら
t+r=tan(T+R)
から
t-r=tan(T-R)
を引いた
2r=0=tan(T+R)-tan(T-R)なので
tan(T+R)=∞
tan(T-R)=∞

ということは

T+R=T-R=π/2つまりT=π/2、R=0となります。

これが無限の過去t=-∞、ココr=0だったら同様に、T=-π/2、R=0となります。



イマt=0、無限右r=∞だったら
t+r=tan(T+R)
と
t-r=tan(T-R)
を足した
2t=0=tan(T+R)+tan(T-R)なので
tan(T+R)=∞
tan(T-R)=-∞

T+R=π/2
T-R=-π/2

ということで、T=0、R=π/2

同様に、イマt=0、無限左r=-∞だったらT=0、R=-π/2となります。



上下左右の点が求まったので、四辺の様子も見てみましょう。


右上にある右肩下がりの線の式は
T=-R+π/2なので、移行して

T+R=π/2となります。

T+R=atan(t+r)なので

atan(t+r)=π/2ということは

t+r=∞ということになります。



右下にある左肩上がりの線の式は
T=R-π/2なので、移行して

T-R=atan(t-r)=-π/2なので
t-r=-∞です。


左下にある右肩上がりの線は
T=-R-π/2なので、移行して
T+R=atan(t+r)=-π/2なので
t+r=-∞


左上にある右肩上がりの線は
T=R+π/2なので、移行して
T-R=atan(t-r)=π/2なので
t-r=∞


となります。


ブラックホール、ホワイトホール内部と特異点に関しては、もう少し経ったら計算してみたいです。



とりあえず、これで借りてた本を返却する準備ができました。

カー解、ライスナーノルドシュトルム解、カーニューマン解についても解いてみたいですねえ。
もう少し将来かなあ、(一般)相対論自体あまりよくわかってないからなあ