ノナッチ行列とか

といきなり方程式の形で出されると、この高次方程式の解の法則性はよく見えないように思えますが、
この方程式が

こういう規則性のうえになり立った行列の固有値を求める特性方程式であるとわかると
得られる知識は一気に広がります。


まず、この行列のトレースは1なので、高次方程式の解の和は1になることがわかりますし

中身が全部正の実数であることから、ペロンフロベニウスの定理が活きて、ガウス平面における解の分布が右寄り横長であることもわかります。

det(デターミナントつまり行列式)も±1ということから、解を全部掛け算したものも±1であることがわかります。
行列式は、行列の大きさが偶数次だとマイナス1、奇数次だとプラス1だということもわかります。
行列式は、たとえば5次行列のペンタボナッチ数列なら、このような再帰的アルゴリズムで求めることができます。



また、ペロンフロベニウスの定理から、絶対値の一番大きな固有値は正の実数であることがわかるため、


この式のλに1や2を入れると、
解の1つが1以上2未満であることがわかるかと思います。

λ=1を代入した時

λ=2を代入した時

λが1と2のときで符号が変わっていますね。

このことから、固有値λをてさぐる範囲は、最大でも実部および虚部が-2から+2の間までであることがわかります。


それでは実際にこの多項式の零点を探してみましょう。

固有値の和も積も1あるいは±1ということは
おおよそ、ガウス平面で上下左右対称気味の配置になりそうな気がしますね。



実際、以上のように、2付近の正の実数の固有値が1つあり
1付近にはなく
あとは大方、複素平面上で半径1の円より少し小さい半径のところを等しく分割したような感じの配置になります。
半径1より少し小さいのは、2に漸近していく実数の固有値との兼ね合いだと思います。

多項式の次数が大きくなるにつれて、真円に近付いていくでしょうし、配置もほぼ円周上びっしりに漸近していくはずです。
が、ちょっと直感からズレるかもしれませんが、どれだけ次数が高くなっても、この固有値の和は1なんです。

どういうことかというと、正の実数1のところには解がなく、その代わりに正の実数2のところにあるからなのです。
単位円の円周すべての点を足し合わせたら打ち消しあってゼロになるはずです。
そこから、正の実数1を取り除くと、マイナス1になります。
どれだけ円周上に固有値を敷き詰めた円でも、正の実数1を取り除くとポッカリと空いてすべての和が-1になるのです。
そこに、正の実数1の代わりに正の実数2を付け足すと、-1+2で1になるのです。これがトレース＝1の由来になります。


DL用Excelファイル を載せておきます。


モノボナッチ　フィボナッチ　トリボナッチ　テトラボナッチ　ペンタボナッチ　ヘキサボナッチ　ヘプタボナッチ　オクタボナッチ　ノナボナッチ　デカボナッチ

モノボッチ　ジボナッチ　テトラナッチ　ノナッチ　ノナボッチ　ノナッチ





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