備忘録：ペンローズダイヤグラムにびびるな

時間をt、距離3つのうち1つをrとし、3次元空間を極座標で表すとすると、緯度とか経度をpやsで表すとする。

ペンローズ図(ペンローズダイヤグラム)では特に、tとrに関して、無限を有限に押し込める。

atan(t+r)=(T+R)/2
atan(t-r)=(T-R)/2

と定義して、Tを縦軸、Rを横軸にプロットすることで、時間・空間ともにゼロを含んでマイナス無限大からプラス無限大までを
-πから+πに押し込める。
正方形を斜め45度に傾けたひし形の中に、すべての観測可能な時間と空間がすっぽりと収まる。
この正方形(ひし形)の面積は(2π)^2/2=2*π^2かな。だから正方形でいうところの一辺の長さはπ√(2)ってことになる。

目盛変換はただこれだけだ。
初等関数で、ゼロを含む無限の変数値を有限の関数値にするのはアークタンジェントかハイパボリックタンジェントくらいで、ハイパボリックのほうはクルスカルスゼッケルのほうにすでに使われている。


プロならともかく、素人にはこれで十分。
思いついてしまえば、先人から学ぶ分にはなんてことはない。
びびることはなにもないから、みんなもネットにももっと軽々と書いてほしい。

全然見当たらなくて困ってるんだ。


実はこのペンローズ図、観測不可能な時空領域まで描ける。
ブラックホールやホワイトホール、アインシュタイン・ローゼンの橋の向こう側にあるとされるもう1つの宇宙まで描画可能だったりする。



気になるのは、このペンローズダイヤグラムは平面限定なのかということだ。
ミンコフスキー時空を、次元を落として3次元「時空」としているのは理解できる。

しかし、ペンローズ図の場合はどうなのだろう？
極座標で表すのは必須なのだろうか？緯度経度のsやpではなく、直交座標系のyやzとすることは可能なのか？
ブラックホールの場合はそうだろうが、もしこれがブラックホールではなく宇宙の「観測可能なほうの」果て(やホワイトホールに相当する？ビッグバン)だったら？

ペンローズダイヤグラムを(4次元は無理でも)3次元に起こすことは物理的に意味があることなのだろうか？？それとも意味をなさないのだろうか？？

気がかりなのは、「向こう側の宇宙」が隣り合って1つしか描かれないことだ。いや2つかもしれない
なぜ1つか2つなのか。

だからといって、ペンローズ図を3次元に起こしたところで、1つや2つがいくつかに増えるだけで、無数になるわけではない。(数珠つなぎにという意味では2次元のままでも無数なんだが)

向こう側の宇宙はどういう基準で選ばれてこっちの宇宙とER橋でつながるのか。


そもそもブラックホールごとにつながる宇宙は異なるのか


ああそういえば、BHに生えている「毛」次第で、ER橋の向こう側との連絡状況が異なるんだっけ
3本のアホ毛、回転・質量・電荷(もしくは色荷も追加されるかもしれない)


シュバルツシルトの場合と
ライスナーノルドシュトルムの場合と
カーの場合と
カーニューマンの場合

それぞれでペンローズ図は、やっぱ違ってくるのかな？そうなのか？？




やっぱりこの辺の分野での日本人は貧弱だな
日本語のペンローズ図と、英語のペンローズ図ではこれだけ違う。
グルーオンのときもそうだった。
日本語のグルーオン　英語のグルーオン。