「ペロン-フロベニウスの定理」可視化器

ペロンフロベニウスの定理


日本語でおｋ





ってことで可視化してみました。



0～1の擬似乱数を3行3列の行列にぶち込んでます。(赤いほど大きく、緑いほど小さいように色分けしてます)

この「中身が必ず正の実数」な非負行列Aに対して、複素数の固有値候補λを用いて行列式
det(A-λE)=0

の固有値方程式をλに対して解きたいわけですが、n行n列だと一般にn次方程式になりますよね。

そこで、det(A-λE)の絶対値をプロットして、そのゼロ点を探ってみることにし

条件付き書式と、マトリックス方式を使った3D描画でabs(det(A-λE))のゼロ点を探ることにしました。
λ=x+iyとして、基本的に横xを実軸、縦iyを虚軸としてます。
乳首色をしてる辺りがゼロ点です。


そのままだとあまりいいかんじに炙りだされないので、abs(det(A-λE))を指数関数に入れたEXP(||A-λE||)で誇張表現してます。
(3行3列のAにしたのはサラスの方法でサボりたかったからです)



見事に、右寄り横長になりましたね。これがペロンフロベニウスの定理の言いたいことの１つのようです。

今回は3次方程式なので、複素解も含めると一般に3つあるわけですが
非負行列の固有値は「絶対値の一番大きな解が必ず正の実数」ということですね。


これは便利。
なんでかといいますと
フィボナッチ数列を行列とみなしたときの日記を見てもらうとわかるかと思うのですが
フィボナッチ数列って黄金比を比率とした等比数列に漸近していくんですよ。


それと同様に、同じ非負行列Aを何度も何度も掛け算し続けると
正の実数の効果だけが生きのこって繁栄されるというわけです。


（ところで、
残りの固有値は必ず「実数」あるいは「複素共役」になるのかな？？固有積である行列式も非負実数だろうし：4次以上じゃないとなんともいえないかも）



それはそうと、ちょっとずつ違った非負行列Aが100個くらいあって
A1～A100まで全部掛け算したらどう近似されるんだろう？
ってのは、結構みなさん気になりますよねたぶん。
気が向いたら調べてみます。



よかったらExcelDLファイルでも遊んでやってください＾＾


expに打ち込んだらゼロ点はイチ点になりますよね・・・

にほんブログ村
※追記
実対称非負行列の固有値ｗｗｗｗコンボ縛りすぎわろたｗｗ