ロドリゲスの回転公式の絵描き歌

任意のベクトルを軸に、実数行列だけを使ってジンバルロックなしに回転を表現できる「ロドリゲスの回転公式」
複素行列を扱えない簡素な環境などでは便利ですね。

ベクトルv(x,y,z)を回転させたい場合は
vの右からMをかけて、v'とすればOKです。

もしvが横ではなく縦ベクトルの場合は、Mは左からかけましょう。



回転のための行列Mは、行列Rを使ってM=E+Rsinθ+R^2*(1-cosθ)と書くんですが


まず、どっちがsinでどっちがcosかとか符号などを覚えるために
とりあえずθをゼロにしてみましょう。

MがRによらず単位行列EになるようでしたらOKです。


さて次はRの中身ですが
Rが交代行列(反・対称行列みたいなの)であることを覚えておけば、あとはなんとかなります。


自由度は３つだけですね。なのでテキトーにa、b、cとおいてしまいましょう。

このa、b、cを適当に組み合わせることで、回転面に対する単位法線ベクトルを形成します。
単位ベクトルなので、2乗和「a^2+b^2+c^2=1」という制約がつきます。純粋に自由度が3つというわけではないですね。もう少し少ない。2かな？


a=b=0にしてみましょう。
規格化条件(単位ベクトル)からc=1になるはずです。
これをRに入れ、さらにそのRをMに代入してみましょう。


はいこれは3次元の回転行列、x軸を軸とした回転行列でしたね。つまりcはx軸に相当することがわかりました。


では同様に、c=a=0にしますと、b=1になりますね
これをMに入れると
 y軸回転を表しますが、お気づきでしょうか
sinの符号がx軸の時と逆なのです。
つまり、cとb(xとy)の符号は逆にしなければいけないのです。



興味がありましたら
残りの1つ、aだけが1のz軸回転も導出してみてください。符号に気をつけてね＾＾


20140807現在、ロドリゲスの回転公式のwikiがないことからもわかるように
まあおそらくこのへんの範囲は習って得る知識というよりは自分から得る知識だと思うので特に心配はしてないんですが
テストでこれ書いたら☓くらった！とかいうのはナシでおねがいしますよｗ
右手系じゃなかった！とか、よく読んで計算してみたらわかると思いますしおすし・・・

自分、必要最低限で使えるなら、厳密な答えとは線形従属な時点で満足しちゃうタイプなんですよねー

  
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