素数生成に定評のある多項式n^2+n+41のmod2か3(ウラムの螺旋関連)

nを整数として、いかなるnでもn^2+n+41が偶数にならないことの証明


n^2+n+41=n(n+1)+41

の、nかn+1のどちらかが必ず偶数になるので、41が奇数である限りこの多項式は偶数にならない。
おわり。


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nを整数として、いかなるnでもn^2+n+41が3の倍数にならないことの証明

n^2+n+41=(n^2-1)+n+42=(n+1)(n-1)+(n+42)

の、

１　mod(n,3)=1→mod(n-1,3)=0、mod(n+1,3)=2で、mod(n+42,3)=mod(n,3)=1
２　mod(n,3)=2→mod(n-1,3)=1、mod(n+1)=0、mod(n+42,3)=2
３　mod(n,3)=0→mod(n-1,3)=2、mod(n+1,3)=1、mod(n+42,3)=0


したがって、(n-1)(n+1)+(n+42)は3を法とすると

１　0×2+1=1
２　1×0+2=2
３　2×1+0=2


なので必ず3の倍数にならない。
おわり。



というかこれ、多項式そのまんまのmodを素直に計算するだけでも証明できるよね・・・



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5を法とした場合

１　mod(n,5)=1→mod(n^2+n+41,5)=1+1+1=3
２　mod(n,5)=2→mod(n^2+n+41,5)=4+2+1=2
３　mod(n,5)=3→mod(n^2+n+41,5)=4+3+1=3
４　mod(n,5)=4→mod(n^2+n+41,5)=1+4+1=1
５　mod(n,5)=0→mod(n^2+n+41,5)=0+0+1=1

５の倍数にはならない
おわり。


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7を法とした場合

１　mod(n,7)=1→mod(n^2+n+41,7)=1+1+6=1
２　mod(n,7)=2→mod(n^2+n+41,7)=4+2+6=5
３　mod(n,7)=3→mod(n^2+n+41,7)=2+3+6=4
４　mod(n,7)=4→mod(n^2+n+41,7)=2+4+6=5
５　mod(n,7)=5→mod(n^2+n+41,7)=4+5+6=1
６　mod(n,7)=6→mod(n^2+n+41,7)=1+6+6=6
７　mod(n,7)=0→mod(n^2+n+41,7)=0+0+6=6

７の倍数にならない
おわり。

もしかしたら後々ありがたみが出るかもしれないからいちおうこ積の形では続けてみるけど・・・




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