ゲルマン行列を群とみなす

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ゲルマン行列というよりは、ユニタリ行列を群とみなしてみるって話なんですが
なぜユニタリ群と書いてあるのかが気になりましてね、
まあ、集合というより群をなしているんでしょうね。
なぜ他の代数的構造じゃないのかも気になりましてね、
ちょうど群がピッタシだったんでしょうね。


群の公理か・・・

・なんらかの演算☆に対して閉じている前提で
・結合則を満たし
・単位元があり
・逆元がある


・・・なるほど。うおおおおおお！？見える、見えるぞォ！


ユニタリ群の集合をUとすると
掛け算×において


・U1×U2=U3：閉じている。

・U1(U2U3)=(U1U2)U3

・単位元は単位行列Eで、これもまたユニタリ

・U×U†=U†×U=Eという逆元U†の存在、これもU

ただし、U†はエルミート共役で、Uの転置tUの複素共役をとったtU*=U†です、†(だがー)。



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今朝ちょっと回り道をしてしまいまして

ゲルマン行列λを例に逆元を考えていたら

gn=exp(iλnθn)とすると

g3とg8がg*×g=Eで、
それ以外のg1、g2、g4、g5、g6、g7がtg×g=E

だったんですよ。

転置か複素共役しか出番がなく、エルミート共役の出番がないのでおかしいなと思ったんです。
が、転置か複素共役だったら両方エルミート共役で統一しちゃえばいいじゃん！

ってことになって、

あ！そもそもユニタリの性質にUU†=Eってあったじゃん

と、当たり前のことに巡り巡って戻る現象がありましてね。


例示は理解の試金石だったわけです。
こういう、自力で当たり前のことに到達するって大事ですよね。
多角的に見れるといいますか。



しかしよく考えてみると、ゲルマン行列単体では演算×に関して「閉じてない」んじゃないか
とふと思いまして
(たとえばg1g2はnを1～8としたgnのどれかになるのか？)

じゃあゲルマン行列というよりユニタリ行列が群なんだなって結論に行き着きました。


少しだけ群と仲良く慣れた気がしました。
今の僕にとって群は、どうも整数のような立ち位置のような気がします。
・定義は知ってる。
・少しいじったことがある
・でも経験上奥深さを知らない

これから仲良くなれば、いいじゃないか。


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