備忘録：n次元空間における近似的n次元物体による放射場(重力とか電磁気とかクーロン的な)の計算

∫∫･･･(xn/(∑xi^2)^(n/2))×Π(dxi)
のn-1重積分(ただし∑はi=1～n、Πはi=1～n-1)

･･･
･･･
･･･

なんてできるかボケェー！！
ま、まあやってやれなくもないんだろうけど
積分の答えなんか質問箱とかwikiとかにわんさかあるかもしれないけど
やりたくもないわーーー！＞＜


せいぜいn=3次元と4次元だけでもがくのが精1杯･･･1般化とか1般人としてまじ勘弁


プログラミングで数値計算しろだ？
循環参照ならプログラムよりは見える化･･･やりたくねえ･･･orz期待<<<<不安しかねえ
ま、まあ･･･3次元の結果次第では･･･いや、今考えるのはやめよう。

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追記：あータイトル違ってますね


n次元空間における近似的n-1次元物体の間違いでした。

たとえば3次元空間だったら
こんな風に長さと幅が10倍ぐらい違う平面を持ってきて
この平面物体を帯電させるわけです


そうすると、ごく近い距離で受けるクーロン力は距離のゼロ乗つまり距離に依存しないコンデンサ中の電界のような振る舞いをするわけですが


ちょっと距離を離すと
今度は平面電荷っちゅうより線電荷のような振る舞いを見せ初めて
あたかもアンペールの法則みたいに半径rの円の円周、つまり距離の1乗に反比例する電界が得られるはずじゃないすか




そんで、もっと距離を離すと点電荷のように振る舞い、半径rの球の表面積、つまり距離の2乗に反比例する電界が得られるはずっすよね


それが一番最初の式の次元数n=3の場合に相当するだろうってわけっすよ
電界∝受ける力Fが
F=∫∫（z/(x^2+y^2+z^2)^3/2）dxdy　に比例する
って感じっす

この積分をまず解析的にしないと始まらない。



積分の中身の由来は単純っす
（z/(x^2+y^2+z^2)^3/2）

は
表面積S∝1/r^(n-1)
と
z/r
をかけただけ。


3次元空間中に、平面的に電荷が広がっている場合
平面の中心からz軸方向(平面と垂直な方向)にzだけ離れた点で受ける電界を考えるわけですが
x方向にもy方向にもプラスマイナス対称に電荷が存在しているので
電界のx、y成分は打ち消しあって
z成分だけが強めあうだろう
っていう推測によります。
ということは、電荷のある平面の任意の点x,yからの距離をrとすると
そのz方向成分であるz/rに比例した力を受けるんじゃないかな～って感じ。

で、その係数がn次元空間だとn次元超球の表面積であるn-1乗に反比例するんだろうなーって感じっす。

n次元空間における各電荷からの距離rは何次元だろうとピタゴラス(あくまで平方)が適用できるだろうと推測し
3次元ではr^2=x^2+y^2+z^2
4次元ではr^2=w^2+x^2+y^2+z^2
みたいな感じになるんだろうなーってことっす。


まあ、ここでいう4次元は「4次元目が時間の4次元時空」じゃなくてあくまで空間としての次元が4つあるってことっすけどね


途中ですがちょっとここで保存します。