どうも、パウリの排他原理の前にまず置換対称性ありきらしい

放送大学「量子と統計の物理」にて。


|a>と|b>の状態を取りうる2つの粒子にそれぞれ1、2と番号をつけ

|1a>
|1b>
|2a>
|2b>
と表現するとすると


|1a>直積|2a>という1つの状態は、


粒子ののっぺらぼう原則により、|2a>|1a>と重ね合わせの状態
(|1a>直積|2a>±|2a>直積|1a>)/√2

にあり

1と2を置換させると、フェルミ粒子の場合、置換対称性が反対称なので
|1a>直積|2a>=-|2a>直積|1a>

であり、

重ねあわせた状態の存在確率は

(|1a>直積|2a>-|2a>直積|1a>)/√2=0となって、同じ状態には1つしか存在できないことになるらしい。
(直積の計算は可換らしい。ケッツのくせに可換なのかよ！？)



どうも、このようなニ状態系を考えてからのパウリの排他原理らしく

「最初にパウリの排他原理ありき」
というよりそれより前に
「最初に粒子ののっぺらぼう原理ありき」からの、パウリ原理やらスピン量子数のような気がする。

フントはさらにパウリあってからのフントだと思う。
ただ、フントはただの劣化パウリではないと、2010年ごろに量子化学を見てそう思ったんだったかな確か。




じゃあ置換対称性ってのはどっから出てきたのよ？という疑問が湧く。
別に、「ああ、どうして陽子はフェルミオンなの？」「どうもこうも・・・」
といった疑問を抱いているわけではなくッ！


多粒子系の置換対称性とか反対称とかっていうのが、そもそもどういう風に導かれたのか
が気になるだけです、はい。


置換対称性でぐぐると、超対称性粒子の他に出て来るのはほぼ数学、特に代数学なんですよね。
5次以上の方程式の解の公式が代数的に存在しないとかいうアーベルやガロアのアレ
どうして、このただの抽象的な関数や変数が、物理的実体を持った波動関数や粒子の状態にそのまま対応しているのか、どうも飛躍を感じる


粒子を入れ替えたら符号が変わるってのはどうやって発見あるいは導出されたんだろうか。
というかこれは本当に波動関数や存在確率ととっても構わないのだろうか？という疑問も湧く





それにしてもよくぞ、こんな膨大な数の粒子からなる比熱やらの実験結果から
粒子に顔がないなんてことを見ぬいたよな
と、キチガイじみた歴史上の大先輩に敬意と軽い軽蔑の念を表します。





＝＝＝＝＝＝＝＝
そういえば、フェルミオンが偶数個集まって絡み合う？とボソンになるらしい。
超伝導ではクーパーペアという電子対がボソンになるらしいが、
じゃあ超流動は？
ヘリウムで思い浮かぶのは
α崩壊とアルファ粒子がボソンということ
ええと・・・もしかして、ヘリウムの原子核自体がクーパーペア的な！？
うーんこの話、どっかで聞いたような聞いてないような・・・
もしα粒子同士がペアを作るんなら、そこにトンネル効果が合体して何か素敵なことが起きないだろうか
うーんなんかこの話も前にしたような気がする。
量子ジャイロスコープなんてのもあったっけ。超流動版のジョセフソン効果と捉えていいんだっけ？
wikiに「トンネル」って文字が1文字も含まれていないことに不安を感じる






＝＝＝＝＝＝＝＝
授業中に「スレイター行列式」なんてのが出てきた。
なぜか古い知人のように聞こえたが、勘違いだったようだ。
そもそもケットベクトルを使ってニ状態系を計算すること自体初体験なのに
スレイターさんを知っているわけがない。

「制御工学で見かけた」と思ったのは幻だったようだ。
スレイター→スレート→トレース
みたいな感じで、デターミナントや行列のランクとごっちゃになってた気がする

制御工学ではスレイター行列式なんてのは出てこないようだ。




n個の状態にn個の粒子が群がる時の、一般化したスレイター行列式ってのがあって
なんとなくですけど
1つ交換するごとに符号が入れ替わる様を想像して、一般化されたエディントンのイプシロンもしくは、レビチビタ記号を彷彿としました。
といっても行列式の余因子展開自体がそんな感じなので、偶然かもしれません




＝＝＝＝＝＝＝
直積ってのはベクトルや行列・テンソルのほうの直積ですよね！？
ああ、これならケットベクトル同士でも可換になりそうですわ

にほんブログ村