グルーオンとパウリ行列

トモダチにそそのかされて、グルーオン8種類の内訳にちょっと本気出して挑戦してみることにしました。


SU(3)でぐぐってうぃきって、
特殊ユニタリ群というのが出てきました。
今だと読めます、読めますよー！メガー！！


探していたのがSU(2)ではなくSU(3)だったこともあり、
さらっと書いてあったSU(2)をすっ飛ばすところだったんですが
英語のgluonのwikiに書いてあった内訳からどうしてこんな変な格好をしているのかと考えてみまして
おそらくこの変な格好に唯一性と対称性があるのだろう
そういえば3ではなく2のときに、デジャヴを感じなかったか？
と思い出しながらぐぐっていたら
やっぱりパウリ行列が鍵らしいのです。
先日書いたパウリ行列関連の日記はコチラ。



パウリ行列は、
①ユニタリ行列であり 
なおかつ
②エルミート行列でもある
と書いてあります。
ユニタリ行列というのは、
「複素共役と転置を取った「エルミート共役」というものが元の逆行列：g†=g^(-1)」(固有値の絶対値が1)なものを言い( †はエルミート共役の記号 )
エルミート行列というのは
「エルミート共役が元の行列である：g†=g」(固有値がすべて実数)のことを言います。



しかしながら、SU(2)には②に相当する定義が見当たらず
仕事中ずっとそのことで頭がいっぱいでした。


その代わりに、
①ユニタリでありなおかつ②「行列式が1である」
と書いてあります。




つまり、パウリ行列は下の定義にも上の定義にもたまたま両方当てはまってしまったということのようです。



このパウリ行列の種類が3つである理由が、どうもSU(2)の2×2-1=3からきているようで
グルーオンのSU(3)の場合は、3×3-1=8種類にそのまんま相当するようです。


たぶんパウリ行列の要領でいけば、少なくとも数式的は追えると思います。
ただ、ちょっと計算途中で思ったんですが、たぶん計算量がハンパないみたいです。
添字3つとか・・・

あと、これが計算できたとして、グルーオンが8種類であることの定性的な理解につながるかはわかりません
質問箱で幾多の猛者が失敗しているところを見ると、やはり感覚的に伝えるのは無理なのかもなぁとも思ったりもします。
素人目には、どうしても「9から3引いた6じゃね？」って思っちゃいますよねー＾＾；



λ1～8の固有値はすべて0と±1・・・ではないですねorz
λ8だけが異質っす。なんじゃこりゃ。


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