ゲルマン行列のSU(3)とかいうやつとグルーオン～どうして8種類？～

 

生成子8つの内訳はwikiの特殊ユニタリ群に書いてある通りで、こんな感じですよね。
 生成子自体のルールは、「エルミート行列」で「トレースがゼロ」



んで、この生成子λたちから作り出される特殊ユニタリ群っちゅうやつの作り方が
θたちを全部実数として
 
こうなるわけですよ。たぶん
今回はSU(n)のn=3なので、指数の肩は1から8までの和になります。


 この辺、パウリ行列を指数関数にぶち込んだときと同じ要領っすね。

ちなみに、もしSU(4)だったら
こんな感じの4×4-1=15個をぶち込みますよね。


eの行列乗(複素数)をスムーズに行うには
対角化が不可欠なわけでして
そのために固有値と固有ベクトルを求めるわけです。


エルミート行列を対角化しようとしているので
対角化のための行列は、エルミート共役が逆行列そのものっす。

具体的には
対角化のために3列の固有ベクトルを横に3つ並べたもの、これをωとしますと

  です。
(†：エルミート共役：転置して複素共役)




生成子であるゲルマン行列λ1～8のうち、8以外は固有値が±1と0の3つと、まったく同じなので
対角化の際の中央に添える対角行列は7つとも全部コレ。
 
λ8のための対角行列は固有値が1と1と-2なのでコレ。
 
λ3とλ8は元々対角化されているので、対角化行列は単位行列で決まりです。
重解とか知ったこっちゃありません＾＾＾＾＾ﾌﾋﾋｗｗｗ

この対角行列をηとしておきますと

  

この対角化を逆手に取り、λのn乗は


とすることで、べき乗をスムーズに計算できます。



べき乗が出来たので、これでもう指数関数expのテイラー展開に入れることができますね。

指数関数は
 

の無限級数ですからね。


ゲルマン行列λ1～8をすべて指数関数に入れると、こうなります。
係数あってるかなぁ？
 
対角化のための行列ωはそれぞれ以下のとおりです。
 


どうやら特殊ユニタリ群というのは生成子そのものではなく、生成子行列を指数に入れた(そして全部かけた)行列のことを指すようでして
こいつらは全員、行列式が1です。ユニタリ同士をかけてんだからユニタリにしかならんのですよ
なんだか3次元の回転行列をパウリ行列の要領で拡張したみたいな感じですね。

 
回転軸方向の指数が0ではなく1であることをお忘れなく。
exp(0)は最初の項が0の0乗になってしまうので、このときは0の0乗=1と定義しなければなりません
webツールを先生って呼ぶ風潮あんまり好きじゃないんですけど^{[要出典：誰が？]}


3次元とはいっても、複素数の3次元→実質6？8？次元ですね。
ものすごくイメージしづらいですが、回転軸の取りようが8通りあるわけですね。

n番目のλが回転軸の方向なのに対して、回転の（角）速度がθnといった感じでしょうか。

exp(iθnλn)をnに対して1から8まで掛け算するということは
指数なので
 
θnλnを1から8まで足すということです。
 


どうして8つなのか
 
これは指数の肩に乗る行列がエルミート行列であるという制約からきています。
エルミート行列なので、非対角成分がエルミート共役でなければなりませんし
対角成分は実数に絞られます。

よって、3×3行列でも自由度が9×2の18個あるわけではないのです。

非対角成分は半分にしてからまた倍にするので、そっくりそのまま、行列の要素の数になります。
 
一方、対角成分はパウリ行列SU(2)の対角行列


を参考に拡張していきながら、トレースをゼロに維持しなければいけないので
このようになり


n×n行列ではn-1個しかありません。
(生成子のトレース=0の要請は、特殊ユニタリ群自体の行列式=1と連動しているようです)


従って、特殊ユニタリ群の生成子の、n×n行列のパターン数(自由度)は、行列の要素数より1個だけ少ない、n×n-1個になるのです。

そうして、この特殊ユニタリ群の生成子がそのまま、グルーオンそのものになっているようです。
なぜそうなるのか、結局、問題を数学の定義の仕方に遷移させただけのような気もしないでもないですが

それについてはおいおい追って報告しようかなと。oioi
 
○
卍＜ねっ！





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