ゲルマン行列とクォークのカラーチャージとグルーオンとSU(3)

 
このゲルマン行列を、パウリ行列の要領で指数関数の中身にぶち込んでオイラーすると

こんな感じの、複素まで拡張したような3次元の回転行列みたいになるよ
(/2の係数は余計でしたすまんこ＞＜)

と、先日の日記では書きましたね。


ただ、このゲルマン行列はx,y,zの3次元空間上を動き回るものとしてではなく
Red、Green、Blueの色空間を動き回るものとして使われているようです。

こう

ではなく、

こう

使うようですね。

たとえばλ1を使うと、
  
もしレッドさんだったらウェザーグリーンさんに、(上)
もしグリーンさんだったらレッドさんになる(下)、というわけで 

gluonの英語版wikiにある式 は
こういうことを意味してるっぽいです。
どうして√2で割ってるのかはおそらく、重ねあわせてある2つの状態の絶対値の2乗を取ると
存在確率になるので、規格化しているためでしょう。

レッドをグリーンにするということは、行列で書くと見た感じ現れませんが
wikiにあるような記述方法をすると、反レッドと(反ではない)グリーンを両方持ったグルーオンが働いた
とみなせるようです。
ファングを与えてジョーカーを奪う死神と天使が相乗り(スーツアクター：大山のぶ代)


また、状態が実数の範囲だけでなく複素数の範囲にまで及ぶため
ただの3次元ではなく複素3次元になるようです。

そのため同じようにRをGに、GをRにするグルーオンでも
 

このようなグルーオンも許容せざるを得ないようです。
(どう違うのかはイマイチわかりません・・・)


僕はイマイチ行列力学や行列表記が理解できていません。
理解を著しく進めてくれた、放送大学「量子物理」の第14回はたからものです。

8番目のグルーオン

(なんで√3で割るのかまだわかりません・・・SU4の末っ子がいれば少しは規則性がわかるかもしれないのになぁー（ﾁﾗｯ)
に相当するのは

なのですが、ちょうど僕がwikiとの約束事R、B、Gの順ではなくR、G、Bの順で書いてしまったため
-2の係数がウェザーグリーンではなくウェザーブルーになってしまっています。


これと同様に、レッド、ブルー、グリーンの順番は筋が通っていさえすればどうでもよく
さながら本当の色のように
ある人には
赤、青、緑
に見えていて、他の人には
赤、青、緑
と見えていても約束が通じれば何の問題もありません。

つまり、「対称性って言いながらビビッド(ネギ)グリーンのゴリ押しじゃねえか！」
なんてこたあないのです。


ところで、なぜ３色で８通りなのかといいますと

イメージとしてはこんな感じだと思います。
同じ色、同じ線の形状がワンセットで、

・RとGの実部・虚部同士を結ぶ都営ピンク線
・RとGの実部と虚部を入れ替える町営ピンク線
・GとBの実部・虚部同士を結ぶ都営まぜん太線
・GとBの実部と虚部を入れ替える町営まぜん太線 
・BとRの実部・虚部同士を結ぶ都営イエロウ線
・BとRの実部と虚部を入れ替える町営イエロウ線
・同じ色の実部と虚部を入れ替えるもの2色バージョン都営暗黒線
・同じ色の実部と虚部を入れ替えるもの3色バージョン町営暗黒線

といった連絡網の自由度が8種類なのではないかと。
これで3色の実部・虚部のどの駅からでもどの駅にも一発(乗り換えなし)でたどり着けますよね？
(暗黒線の町営と都営が合併しそうな気もしますがなんとか符号を入れ替えて差別化を図っているようです)


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追記：
 
こうなのか
こうなのか
 
わからなくなってきました。orz