量子数と関数の偶奇と分数

量子数が偶数か奇数かというのは、波動関数が偶関数か奇関数かに密接にかかわりがあるように思えます。


ただ、スピンに関して量子数が整数でいられるのはボソンだけ。

フェルミオンのスピン量子数は「半整数」といって、2分の奇数とかいう値を取るようです。

じゃあこの場合、波動関数はどんな風になるのか。

偶関数や奇関数は、偶（数乗）関数や奇（数乗）関数と読み直してもよいほどのかかわりがあるように思えます。


だったら半整数関数はルートなんじゃないのか


しかし、f(x)=√xという関数には、関数f(x)が実数であるとき、xはゼロ以上という制約があるため、このままだと偶関数や奇関数どころではなく、まったく使い物になりません。

ではzを複素数とした、複素関数f(z)に拡張してみてはどうでしょうか


f(z)=√z　というわけです。

これの、f(-z)=√(-z)がどんな振る舞いをするのか考えてみましょう


z=A×exp(jθ)　としましょう。

-z=A×exp{j(θ+π)}　と考えることができます

また、一周しても同じなので

z=A×exp{j(θ+2nπ)}
-z=A×exp{j(θ+π+2nπ)}

とすることができます。

そのうえでzと-zのルートをとってみますと

√(z)=√(A)×exp{j(θ/2+nπ)}
√(-z)=√(A)×exp{j(θ/2+π/2+mπ)}

ただしmとnは任意の整数

よって、√(-z)=i^l×√(z)

lも任意の整数

つまり、√(-z)が、±√zか、±i√(z)の4パターンを取りうることがわかりました。

前者は+が偶関数、－が奇関数にそれぞれ相当し、
新たに元の関数の±i倍という、拡張がなされたと言えそうです。


ってことでいいのかなぁ？？
√zって関数そのものが偶関数でも奇関数でもあって、そのほかにも2パターンあるよって言ってるようにも見えるんだけども・・・

実数関数と違って主値とか多価とかあるからなぁ複素関数は。



ネタバレなしで挑みたかったのでやってみましたが、
スピノルってのがこれにあたるのかどうかはよくわかりません。
正直wiki見てもさっぱりです。抽象的な数学記号は苦手なんです。


それに、なんか四元数とか行列とかも関係ありそうだし

まあ、フェルミオンのためにディラックが方程式を用意してくれたんだから
行列がかかわって当然っちゃ当然なんでしょうけども。

もしここでいう行列が、パウリ行列のように単位ベクトル扱いのものであるなら
いきなり行列になって要素が4倍に増えたりしててびっくりするほどのことではないのかもしれません

多価の全部をひっくるめたら行列になっちゃった的なニュアンスかもしれませんね



でもそうしたら、波動関数は具体的に書き下せるじゃねえか
なんだよ具体的なものにならないんじゃないのかよ

という疑問もわきます。

もしかしたら「オブザーバブルな波動関数は」具体的に書けないのかもしれません
にしても「物理量が実数かどうか」が「オブザーバブルかどうか」に関連するというのは
どことなくご都合主義的というか、宇宙のバグが収束した感じがしないでもないです


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