1次元トンネル効果の数値計算3D

解析計算に行き詰まったので、検算用に数値計算してみたんです。

まず1次元の距離xを設定します。
それから、xに見合ったポテンシャルVを設定していきます。
xが井戸の端から端：-a～0の間はプラスのVで、それ以外は0とします。



微分方程式は
 


なので、これを差分方程式
 


にします。

2m/ħ^2=1と規格化して、φ(+)の関数に変形します。
 


境界値問題の代わりに初期値問題的な感じで積分定数のようなものを決めていきます。
2階の微分方程式なので、積分定数も2種類になりますが

今回この、端っこにある2種類の境界値φ(0)とφ(-)には、複素数を入れることにします。
1元から2元に増えてしまいましたが、イコールもその分増えてるので方程式としては成り立ってます。


ここで、透過波に反射波が含まれないことを利用しましょう。
進行波しかないので、
自由粒子のオイラーな螺旋同様、波動関数φの絶対値の2乗は|φ|^2=1で固定されるはずです。


したがって、端っこのφ(-)にはcos+i*sinの複素数を入れてしまうことにします。
また、端っこのφ(0)にも、少しxをずらしたexp(ikx)を入れます。
一旦初期値・境界値に複素数を入れてしまうと、微分方程式の解である波動関数も複素数の範囲をうろつくようになります。
ちなみに、Excelの複素関数でオイラーの公式、imexp(sumproduct(i,k,x))=complex(coskx,sinkx)みたいのができるはずです。

kは波数=2π/波長なのですが、これを間違えると透過波でも|φ|^2=存在確率が一定ではなくなるような定在波が立ってしまうので
透過波φの絶対値の2乗が落ち着くような波数kを考えるわけですが

波数 (規格化するとk=√E)が成立しているので
エネルギーEを決定してしまえば二分法などの試行錯誤なしに、連動して透過波の存在確率も落ち着きます。



このように透過波から→トンネルの中→入射波＆反射波と紡いでいくことで
数値計算は完成します。
つまり透過波から計算するのです。

しかしながら透過波を基準にしたグラフはスケールの見栄えがよくないため、は
x=0での波動関数の値(入射波＋反射波の最大値？)を元に規格化することにします。




出来栄えはこんな感じです。
点線はそれぞれ、波動関数の実部と虚部で、太線が|波動関数|^2=存在確率を示しています。
オレンジがポテンシャルで、赤が粒子のエネルギーです。

波長の同じ入射波と反射波が干渉して、定在波な存在確率の波を作っていることがわかるかと思います。


エネルギーを固定して時間発展させたものがコチラ



時間(位相)を固定してエネルギーを変化させたのがコチラ
 
粒子のエネルギーがポテンシャルを少し上回っただけでは反射波は消しきれず
トンネル障壁の手前に定在波が残っているのがわかるかと思います。
(また、粒子のエネルギー上昇にともない、定在波の振幅も波長も少しずつ短くなっています)


井戸の幅を変化させたのがコチラです。






また、奥行きに波動関数の虚部を配置した3Dがコチラです。

先ほどの2Dグラフ同様、

エネルギーを固定して時間発展させたものがコチラ

時間(位相)を固定してエネルギーを変化させたのがコチラ
 



井戸の幅を変化させたのがコチラ(わかりにくいですが一応)、



井戸の幅とポテンシャルを固定して、時間と粒子のエネルギーを同時に変化させたのがコチラです。

粒子の持つエネルギーがポテンシャルを上回った辺りから、トンネル領域での螺旋のいびつさがほぐれていくのがわかりますでしょうか。
(また、振動の速さがエネルギーに比例して速くなっているはずですがごめん僕にもよくわかんないわ。モアレによる逆流をカバーしたせいかもしんない)


別アングルからも見てみました。 
＼艦ッコレ～／
＼轟沈matrix／



Excelソースファイルを用意しました。
変更してもさほど差し障りないセルを赤く塗ってあります。
あまり差しさわりないセルは黄色く塗ってあります。



ちょっと疑問なんですが、「トンネルの中にいる」って状態は観測可能なんですかね？存在確率も有限ですし。
別にポテンシャルの中といっても、物質の中とは限らないじゃないですか。場の中なだけかもしれませんし。

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