直流と反射とインピーダンス・マッチング～失われたシンプルさを求めて～

さらばー宇宙よー


いや～すっかり1ヶ月以上放置してしまいました＞＜
先日まで、画像も出さずにコソコソと、波動方程式の数値シミュレーションを行って
やったらボソボソとロビン境界条件の条件が求まらないとかなんとかブログに書いてきましたが

我が希望的観測日記ブログ枝部が目指しているのはこんなんじゃありませんのだ！ヽ｀д´ノ

僕がなぜ、Excelでのシミュレーションにこだわっているのか！？
それは！プログラミングが怖いからだ！
複雑さを積層していくプログラミングのあり方にウマシカがあるからなんだよ！！！ソースコードらしき書体すらアレルギーなんだよ

だからこその非積層型、いつでも気軽に組み立てられる平屋のシミュレーションをやってきたはずなのであって
このブログで技術を積層化してしまったら意味がないではないかー！



＝＝＝＝＝＝＝
以前、「反射の観点から見た直流のインピーダンスマッチング」というテーマでですね、ブログを書いたことがあったんですよ。


なぜ、電源の内部抵抗と負荷の抵抗値を同じにしなくてはいけないのか？

理由：
電源電圧Vと、内部抵抗r、負荷Rがただ直列につながった単純な回路で
Rでの消費電力を最大にするには
 r=Rにおいて、 で最大


そのこころは
Rで消費される電力PはRの関数にすると、
 
Pの逆数をRで微分して0になったところが消費電力の最大値なので
  
 をRについて解くと、R=r(R=-rなんて物理的にムシムシ！)

以上。
直流の観点から見ると実に簡単です。


しかし、どうして半分の電圧相当しか供給できないのか？


ということで、直流のスイッチを入れた瞬間、つまりステップ関数をめっちゃ細かく見たらどうなるだろう？
ちゅうのがコレだったのです。



負荷を鏡に見立てて
短絡だと反射波の符号が反転するから、負荷では節(ディリクレ境界条件)が維持され
開放だと反射波の符号が反転しないから、負荷では腹(ノイマン境界条件)が維持されるわけです。


この画像を作ったときは、まだ波動方程式のマックスウェル版といいますか、
シュレディンガーじゃないほうといいますか、そういった波動方程式の数値解がまだ用意できなかったんですね
で、用意したのが以下になります。
  

↑ディリクレ

↓ノイマン





お気づきのように、進行波と反射波に分けることがまだできていないんですよ・・・
これを満たす境界条件はインピーダンス境界条件とか、ロビン境界条件とか呼ばれてるらしいんですが
びっくりするほどこの境界条件の数値解析の具体例が見当たらないんですね。


 そこで、先日の日記のように自力で解こうと思ったんです。
解いてみて思ったんですが、ロビン境界条件って需要がないから書籍にされないんじゃないでしょうか・・・

どうしても反射するなら、反射する手前で止めときゃいいじゃない的な。

十分に長い領域を確保して、端まで伝搬する前に、端っこの手前までを表示すればそれで済むことなんじゃないかな
って思えてきたんですよねー・・・


微分方程式を差分として解く際の境界条件は、波の振幅をuとすると
ディリクレ条件は端っこでu=0
ノイマン条件は端っこでdu/dx=0なので、x=0を端に見立てると(u1-u0)/Δx=0なので、u1=u0

たったこれだけです。

ロビン境界条件にしても
ディリクレとノイマンの線形結合なので、結合係数をa、bとして
au+bu'=0
差分表現だと
 なのでu0について解いて
u0とu1の項に分けて
u0の式にして
  
 これだけです。


でもこのaとbがたいていは関数ってwikiに書いてるところが曲者なんですよねー
おそらく、周波数成分に分けてからフーリエ級数展開しろって言ってるんだと思うんですよ
周波数ごとにaとbが変わってくるんですよねー
じゃあ「周波数」と「領域の長さ」と境界条件の三つ巴の戦いになるじゃないですか
 それを解くために伝送線路やら分布定数線路の条件を解いてたわけです。


入力インピーダンスの規格化：zi=Zin/Z0
負荷インピーダンスの規格化：z=Zl/Z0とすると(特性インピーダンスで規格化すると大文字が小文字に！)

 
 波数β=2π/λ、波長λと周波数fの関係は波の速度をcとして、c=fλ、jは虚数単位、Lは領域の長さです

 この式でマッチングが取れてる条件はzi=1なので分母＝分子が条件 (純拠数部分が同じ) となって

   →
 これを満たすzとβはz=1(Zl=Z0)かつβl=nπ/4
条件は2つ
・ 領域の長さが8分の1波長の整数倍
・負荷インピーダンスZl＝特性インピーダンスZ0
ってことになります。


これで周波数に当たりをつけることができたため、
あとは領域の長さと境界条件を戦わせるだけになりました。
ディリクレとノイマンの結合比は、aとbとはなっていますが片方を固定して片方を動かせばいいので、
領域とbを固定すればaだけ動かして見ればすむはずです。


1発だけのsin波をぶち込んで試してみたんですけどねえ
差分法の精度が緩すぎるのか、なんかそれっぽいところに行けばいくほど気持ち悪く波が乱れるんですよー

でも、この領域の中途半端な部分を端っこに見立ててもいいんじゃないか？ってことがわかったっぽいので
まあ有意義だったんでしょう。

 
計算は至ってコンパクトに収まっていますよ。
ほらこのように。
詳しくはコチラからExcelファイルDLでお願いシマス！TーT（ﾄﾞﾔｧ・・・
(循環参照を使っているのでツール→オプション→計算方法→反復計算→ON
最大反復回数=1、変化の最大値=0.001にしてください)

0～20までの21個の領域で、右端と左端に境界条件を設けてます。
縦は時間で、t=0と1が初期条件、スイッチを押した瞬間はt=0と1を参照したt=2と3で計算し
あとはt=2と3を参照したt=4と5で2、3と4、5を循環参照させます。



ちなみにここで、ノイマン条件かディリクレ条件かを選べるのは右端だけです。
左端からはステップ関数が入ってるので、いわばステップ関数というディリクレ条件オンリーなわけですよ
だから左端は必ずu=1の節にならざるを得ないというわけです。
↓の周期が2往復分になっているのはそのためです。


この、進行波だけを見るためには、反射する前を見ればいいので、こうなります
横幅を狭めて見てるだけです。時間も途中まで。

r=R(電源の内部抵抗＝負荷抵抗)
 
つまり、開放したときに反射して戻ってきたのも「込み」で、”電圧1”として見ていたから
マッチングが取れた「進行波だけ」だと半分に見えていただけなのです。


まあ、ステップ関数だけだとつまらないと思いますので、正弦波入力もしてみましょう
 
左端にゼロ抵抗のLC共振回路があるような感じだと思ってください。
反射して定在波が立っているのがわかると思います。

ディリクレ(負荷で節：電圧だと短絡、負荷抵抗＝０)



ノイマン(負荷で腹、電圧だと開放、負荷抵抗＝∞)


その他条件：負荷電圧が節でも腹でもない(でもマッチング取れてるまでいかない)
  



結局、このシミュレーションで、ロビン境界条件の係数aとbが、どのように特性インピーダンスと関連しているのかはわからずじまいでした。
そもそも、どこに特性インピーダンスを設定する項目があったのか、自分で作っていてわからないんですよ・・・だから理論的にズボシーって華麗に決めることが出来ず、aを逐次変えて模索する他なかったのです。



クーラン数(ズ)　ゲート

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