DV：音量と電力の関係シリーズ・下(家庭内ビデオ)

昨日のブログで、音量D[dB]とそれに費やした電力P[W]の関係式を提示した。

今日は、どうしてそうなるのかを考えてみる。


デシベルというのは大きさがピンキリである量の桁の値を扱う方法のことで
ある量Aと、同じ単位を持つある量Bの比A/Bのデシベルは
10log(A/B)
と定義される。
ここで、logは10を底とした対数であり、10倍しているのは本来の単位がB(ベル)であるのが
ちょっと使いづらいので10^-1を表す単位の接頭詞d(デシ)をつけてデシベルにしよう
ということに由来する。
対数の中身AとBは大部分の場面において電力に関わる量であるため
電圧や電流・音圧などを用いたい場合は2乗して電力換算するため、
対数の中身の肩の2が対数の外に降りてきて10×2で20倍され
20log(A/B)という定義もよく見かける。


このように本来は単位を持たない相対的な量を対数の中に入れて使うデシベルなのだが、
電力などの絶対的な量を扱いたいために、A/Bの分母Bに人間が決めた基準値を使うという約束での
使い方もある。
そのようなデシベルには9種類くらいの定義があり、それぞれ基準値が異なる。


そもそも音量のD[dB]のデシベルとはどのデシベルなのか？
ここでは音量に関するデシベルを用いたいので、「SPL」が後ろについたdBを用いる。
(dBm、dBv、dBu、dBV、dBsはあくまでオーディオに関するdBであって音そのものに関するdBではないことに注意)

wikipediaを見ると
基準値は音圧にして20μPa、あるいは電力密度にして10^-12W/m²とある。
この両者は同じことを言っている。

というのは、インピーダンスという概念を使えばわかる。
インピーダンスにも電磁波に関するもの、音に関するもの、機械に関するものなどいくつか定義があり、それぞれ異なるので
ここでは、「音波に関する特性インピーダンス」を用いる。
(あくまで「音響インピーダンス」ではないことに注意。単位がm²だけ異なり、それぞれPa・s/m3とN・s/m3なので紛らわしい)

音波に関する特性インピーダンスというのは、
電磁波における

電界[V/m]＝インピーダンス[Ω]×磁界[A/m]

と音波とのアナロジーで

音圧[Pa]＝音波のインピーダンス×何かの流れあるいは速度

で定義され、

音圧×何かの流れあるいは速度

が

電界×磁界

である電力密度[W/m2]と同じ次元になるように定義されるべきなので

何かの流れあるいは速度→粒子速度で[m/s]の単位を持つべきであると考えられる。

したがって、音波のインピーダンスの単位は、音圧[Pa]を粒子速度[m/s]で割った[N・s/m3]という単位であることがわかる。



電気の世界において、電磁波の特性インピーダンスというものがある。
電磁波が空間を通るときの電界と磁界の比を決定するものであり、
波動の媒質によって決まる定数である。

波動である音波にも同様のことが言え、特性インピーダンスが存在する。
その特性インピーダンスは音波のインピーダンスと同じ単位を持ち、媒質によって決定される定数である。
空気の場合は410[Ns/m3]という値である。


このことを考慮すると、2×10^-5Paの音圧は空気中では
2×10^-5/410=49×10^-9m/sの粒子速度を持ち
電力密度は49×10^-9×2×10^-5≒10^-12W/m²と、同じ意味であると導出することが可能である。


そして、10^-12W/m²の音量をr[m]の距離で測る場合、波源から出た波は四方八方に広がっていくと考えられることから、波源の電力は半径1mの球の表面積4πr²をかけた
4πr²×10^-12Wとなる。



また、任意のデシベル値Dを比の形A/B(ただし、電力の比)に戻す方法は

D=10log(A/B)

をA/Bについて解けばいいので
まず両辺を10で割り

D/10=log(A/B)

両辺の10の指数をとって

10^D/10=A/B

とできるので、あとは基準値であるBを両辺にかけるだけである。SPLの場合はB=10^-12W/m²である。

ちなみに、対数の中身が電圧や電流・音圧などの比である場合は

D=20log(A/B)

を解いて

10^D/20=A/B

である。SPLの場合はB=20μPaである。



幼女を持つ親御さんにが防犯ブザーを買ってあげたいときなど
電気を音に変換する効率がどのくらいなのか知りたい場合は
この日記を参考にしてくれるとありがたい。


例：
1mの距離で90dBの音量で鳴らし続けた場合、ボタン電池CR2016(電圧3V、容量90mAh)2個分にして75分の寿命があるとき
電力変換効率は2.8%である。

(以前どこかで36%と書いた気もするが、あれはまちがえて4πを1回多くかけてしまった)



インポでし。

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