GK：11で割った余り(GKはゲートキーパー図)

⑪ 
n桁の整数を11で割ったときの余りに関する証明
最下位を0桁目として下桁から数えて偶数桁の合計から奇数桁の合計を引いた値が余りになる

具体的には
∑(10^eve*a_eve+10^odd*a_odd）を11で割った余りは
∑(a_eve-a_odd)を11で割った余りと等しいことの証明 。
ただし、奇数odd=2k+1、偶数eve=2kとする。
(k：1～nの整数、a_nはn番目の任意の整数)

∑(10^odd*a_odd+10^eve*a_eve)=11c+d₁　(余：d₁は0～10の整数、商：cは任意の整数)①
ならば
∑(a_eve-a_odd)=11c+d₂　(余：d₂は0～10の整数)②
だと
d₁＝d₂である
ことを証明したいので
②を①に代入する
①を変形して
∑((10^odd+1)*a_odd-a_odd+(10^eve-1)*a_eve+a_eve)=11c+d₁(kは1～n)
②を入れやすくする
∑((10^odd+1)*a_odd+(10^eve-1)*a_eve)+11c+d₂=11c+d₁(kは1～n)
とすると、
∑((10^odd+1)*a_odd+(10^eve-1)*a_eve)+11c+d₂=11c+d₁(kは1～n)
d₁-d₂=∑((10^odd+1)*a_odd+(10^eve-1)*a_eve)
なので11の倍数

とするにはまだまだ早い。
すべてのnにおける10^odd+1と10^eve-1が11の倍数でなければならない。

以下の(1)と(2)を召還して、10^odd+1と10^eve-1が11の倍数であることは証明されたので
d₁-d₂は11の倍数

しかしd₁とd₂およびd₁-d₂は0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10の値しか取れないので
そのうちで11の倍数は0しかない
つまり
d₁-d₂=0であり、両者は同一。　証明終わり



(1)
10^eve-1がすべてのnにおいて11の倍数であることの証明
eveは偶数
数学的帰納法を使う
10^eve-1=11c　(商：cは任意の整数)

10²-1=99は11の倍数である　①
あとは
10^eve-1=11*cならば　②
10^eve+2-1=10^eve*10²-1=11c　③
であることを証明すればよいので
③に②を代入する
10^eve*10²-1=99*10^eve+*10^eve-1=99*10^eve+11c=11c　
なので10^eve-1は11の倍数
kを最初に1と置けば順次2以降の証明も全自動的にやってくれる。

証明終わり。


(2)
10^odd+1がすべてのnにおいて11の倍数であることの証明
oddは奇数
数学的帰納法を使う
10^odd-1=11c　(商：cは任意の整数)

10¹+1=11は11の倍数である　①
あとは
10^odd+1=11*cならば　②
10^odd+2+1=10^odd*10²+1=11c　③
であることを証明すればよいので
③に②を代入する
10^odd*10²+1=99*10^odd+*10^odd+1=99*10^odd+11c=11c　
なので10^odd+1は11の倍数
kを最初に1と置けば順次2以降の証明も全自動的にやってくれる。

証明終わり。