量子井戸と楽器と倍音の振り子

昨日の続き。

まあブランクあるんで
無限深量子井戸から解き始めてみたわけよ。
そしたら、これ基本的に振り子と同じ微分方程式じゃないすか！
なに今更気づいてんすか！


微分方程式が
y''+a^2*y=0
って意味では振り子とまったく同じ
時間tで微分するか位置xで微分するかぐらいの違い。

まあ、それが多大に影響していて
時間微分だったら初期条件として初期位置と初速度の2つを与えなきゃいかんのだけど
空間微分だったら両端の波動関数をそれぞれ1つずつ2つ与えるわけで、

あれ？ちょっと待てよ？
じゃあなんで振り子だと固有振動数が1つしかないのに
波動関数だと固有値がいくつもあんの！？


待て待てちょっと待て。
そもそも振り子で倍音は出ないと限るのか？
出ないとも限らないんじゃないか？
ぐぐったけど芳しくない。

うーん･･･振り子は強制振動でもさせない限り倍音で振動することはないってのか
じゃあ強制振動させたら倍音出るのか！？


まあ･･･量子井戸の波動関数自体、ゼロ点振動以外は励起してるわけだしなぁ


いやちょっと待て。
ゼロ点振動･･･？振り子の一番エネルギーの低い状態は単振動じゃないぞ？
「動いてない」のが最低エネルギーのはずだ。


それを量子井戸に当てはめたら･･･
ないってことはないかもしれないが、規格化した時点でないことになるな。
波動関数の絶対値の2乗を全空間積分したら1になるってのが規格化だからな。
ここにもあそこにも実はどこにもない電子を探してどうすんだよ･･･探し物は夢の中かよ･･･めちゃめちゃ見つけにくいものじゃんか


だがちょっと待ってほしい。
振り子よりもいいたとえがあるではないか。
楽器だ。
波動関数の空間分布はそのまま
楽器内の音波の定在波の空間分布と同じ形になる。
微分方程式の微分も時間微分ではなく空間微分と、同じ状況が出来上がる。


じゃあたとえばリコーダーでドの音を出したいんだけどちょっとヤケクソになってﾌﾝｽって吹いたら倍音の1オクターブ高いドが出てしまったなんてことはありえるだろうよ
でも、楽器にしたって最低エネルギーはドの音でもどの音でもなく、「鳴らしてない状態」が一番安定のはずだ。



じゃあこのゼロ点振動っちゅうのは単に、波動関数に特有の、規格化したら1にせにゃならんっていう要求から発生する問題なのか？
あとは振り子にしたって強制振動させるかさせないかの問題ってだけ･･･なのか？


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